Скачать .docx Скачать .pdf

Реферат: Тригонометрия

Действительные числа:

Теорема: R - несчётное множество.

Док-во: метод от противного. Несчётность (0;1)

X1 =0,n11 n12 n13 …n1k … m1 Î{0,1,…,9}\{9,n11 }

X2 =0,n21 n22 n23 …n2k … m2 Î{0,1,…,9}\{9,n22 }

……………………… ………………………

Xk =0,nk1 nk2 nk3 …nkk … mk Î{0,1,…,9}\{9,nkk }

a=0,m1 m2 …mk … Þa¹x1 a¹x2 a¹x3 …… a¹xk

aÏ(0;1) Противоречие.

0<a<1 Þ R - несчётное множество.

Теорема: Q - Счётное множество.

Док-ть: Q+ - счётное, т.к. Q=Q- U{0}UQ+

Док-во:

Q+ - счётное множество, т.к. оно есть объединение счётного семейства счётных

множеств. Q- - Тоже, что и Q+ только все элементы множества отрецательные

. По теореме: Всякое множество счётных одмножеств явл. Само счётным ÞQ - сч. мн.

Предел числовой последовательности:

Пусть aÎR, e>0 {x:| x-a|<e}

Последовательность {Xn } имеет конечный предел если сущ. такое число a?R, что кокого

бы нибыло e>0 почти все члены этой последовательности e- окрестность точки a.

Почти все - это значит за исключением быть может конечного числа.

$n0 =n0 (e)ÎN: n>n0 Þ|xn -a|<e a=limxn , при n®¥

Свойства:

1. Единственность (Если предел есть, то только один)

Док-во: Метод от противного. a=limxn , b=limxn , при n®¥, a>b, a-b=e>0

$n0 =n0 (e/3):|xn -a|<e/3 и|xn -b|<e/3

e=a-b=(a-xn )-(b-xn )

e=|(a-xn )-(b-xn )|£|(a-xn )|+|(b-xn )|£2e/3

e£2e/3 Противоречие.

2. Ограниченность (Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена)

Дано: $limxn =a, при n®¥ - конечный предел

Док-ть:$M>0:|xn |<M "n

Док-во: limxn =a, при n®¥:"e>0 $n0 =n0 (e):a-e<xn <a+e, при n>n0

Пусть e=1, тогда при n>n0 (1) будет выполняться a-1<xn <a+1 или |xn -a|<1

Тогда |xn |<|(xn -a)+a|<|xn -a|+|a|<|a|+1 "n>n0 (1)

P=max{|a1 |,|a2 |,…,|ano |}

M=max{P,|a|+1}Þ|xn |<M "n

3. Предел п одпоследовательности (Если последовательность имеет предел а, то любая

её подпоследовательность имеет тоже предел а)

Свойства предельного перехода связанные с неравенствами :

Теорема 1. Пусть $limxn =x, при n®¥ - конечный (1 последовательность)

$limyn =y, при n®¥ - конечный (2 последовательность)

Если x<y, то для почти всех n xn <yn

Док-во: e=y-x>0

$n| =n| (e/3): |xn -x|<e/3 "n>n|

$n|| =n|| (e/3): |yn -y|<e/3 "n>n|

n0 =max{n| ,n|| }, n>n0

x-e/3<xn <x+e/3 î

y-e/3<yn <y+e/3 ìÞ xn <x+e/3<y-e/3<yn Þ"n>n0 xn <yn Что и т. док-ть.

Следствие: Если последовательность имеет предел отличный от нуля, то

эта последовательность отделена от нуля. Эта последовательность при больших n

сохраняет знак своего предела)

x=limxn , x¹0

1) x>0 Предположим x>0 x/2>0Þx>x/2

limxn >x/2, при n®¥Из Т.1. следует, что $n0 :"n>n0 xn >x/2>0

Теорема 2. Предположим, что $limxn =x и$limyn =y, при n®¥

Если для почти всех n:xn £yn , то и x£y

Док-во: Метод от противного. x>y по Т.1. Þxn >yn для почти всех n

Противоречие.

Теорема 3. Теорема о двустороннем ограничении.

Пусь $limxn =limyn =a, при n®¥, и предположим, что xn £zn £yn "n, тогда

1) Сущ. limzn , при n®¥

2) limzn =a, при n®¥

Док-во: $n| =n| (e):a-e£xn £a+e, "n>n|

$n|| =n|| (e):a-e£yn £a+e, "n>n||

n0 =max{n| ,n|| }

n>n0 Þ a-e£xn £zn £yn £a+eÞ a-e£zn £a+eÞ$limzn =a

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности:

defû {xn }-б.м. :=limxn =0, при n®¥, т.е. "e>0 $n0 =n0 (e) n>n0 Þ|xn |<e

defû {xn }-б.б. :=limxn =¥, при n®¥, т.е. "e>0 $n0 =n0 (e) n>n0 Þ|xn |>e

Свойство 1. Произведение б.м. последов. на ограниченную даёт сного б.м.

{xn }-б.м. {yn }-ограниченная {xn yn }-б.м.

Док-во: $M>0:|yn |£M "n - значит ограничена.

"e>0 $n0 =n0 (e/M):n>n0 Þ|xn |<e/M Þ

Þ n>n0 |xn yn |=|xn ||yn |£e/M*M=eÞ {xn yn }-б.м.

Свойство 2. Произведение б.б. на посл. Отделённую от нуля даст б.б.

{xn }-б.б. и {yn }-отдел от нуля

Док-во: {1/xn *1/yn }=б.м.*огран.=б.м. (по 1-ому свойству)Þ{xn yn }-б.б.

Свойство 3. Сумма двух (любого кон. числа) б.м. послед. Даст снова б.м.

{xn } и {yn }-б.м. Þ{xn +yn }-б.м.

Док-во: "e$n| =n| (e/2):n>n| |xn |<e/2

$n|| =n|| (e/2):n>n|| |yn |<e/2

n0 =max{n| ,n|| }

n>n0 Þ|xn +yn |£|xn |+|yn |<e/2+e/2=e

Для того чтобы получить это св-во с любым числом последовательностей

нужно применить метод мат. индукции.

Свойство 4. Сумма б.б. одного знака снова б.б. того же знака

Док-во: Очивиднл.

Неопределённые интегралы.

def / F(x) называется первообразной

для f(x) на[a;b] если F ¢(x)=f(x)

У непрерывной функции первообразная

всегда есть.

Теорема: Различные первообразные

одной и той же функции отличаются

на одно и тоже постоянное слагаемое.

Док-во: F1 (x) и F2 (x) – первообразные для f(x)

F(x)= F1 (x)- F2 (x)

F ¢(x)= F1 ¢(x)- F1 ¢(x)=f(x)-f(x)=0

F(x)=const

Def / Совокупность всех первообразных одной

и той же функции называется её

неопределённым интегралом.

Св-ва линейности:

Замена переменных в неопределённом интеграле

или методом подстановки.

Теорема: Пусть функция x=

x(t): (a;b)®(a;b), xÎC1 (a;b), fÎC(a;b)

1)

½x=x(t)

2) Если x¢(t) сохраняет знак, тогда

½t=t(x)

Док-во: 1) d/dxF(x(t))=F ¢(x(t))x¢(t)=f(x(t))x¢(t)

2) x(t) – строго монотонная Þ$обратная t=t(x)

½t=t(x)

Интегрирование по частям.

Рекуррентная формула.

y=a+bx2 y¢=2bx xy¢=2bx2 =2(y-a)

U=1/yn dx=dV dU=(-ny¢/yn+1 )dx V=x

In =x/yn +2nIn -2naIn+1

1) In+1 =(1/2na)(x/yn +(2n-1)In ), n¹0, a¹0

2) In =(1/(2n-1))(2naIn+1 -x/yn ), n¹1/2, a¹0

Поле комплексных чисел.

(x;y)=(x;0)+(y;0)(0;1)=x+yi

– алгебраическая запись комплексного числа

Чертёж :