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Курсовая работа: Аддитивные проблемы теории чисел

.

Ł

1 ˇ ƺ ß Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º. 3

1.1 ˇ ƺ ´ Ł ª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 ˇ ƺ ˆ º Æ ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 ( Œ Łª Ł æŒŁı æ . ( ¨. . ´Ł ª -

) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 ˇ ƺ Ł - ¸Ł º . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 ´Ł ª - ` Æ Ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Ł Ł ƺ ºŁ º Ø. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 ˇ ƺ ºŁ º Ø Ł ł . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5.1 ˆŁ —Ł . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 ß ł Ł ƺ Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º. 10

2.1 Œ ŁŁ Œ Ł øŁ Œ Ł . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 ß ł . ¨ææº Ł æ Œ ß æ . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1 º Æ ª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.2 — ł æ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 ˜Łæ æŁ ßØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 ˛æ ß ß ß. 15

Ł Ł ß Æº ß ŁŁ Łæ º XVII - XX .

´ Ł .

Ł Ł Ł Łæ º - º ŁŁ Łæ º, Œ Ł æ Ł

º ŁŁ ºßı Łæ º æº ª ß ª Ł , Œ ºª Æ Ł æŒŁ Ł ª Ł æŒŁ º ªŁ ŒŁı , æ øŁ æ Œ º ºª Æ Ł æŒŁı Łæ º Ł Œ æ Œ ł ŒŁ. Ł Ł ß æ Ł Ł ß Ł Ł. ˛Æß æ-

æ Ł æ Ł Ł ß Ł º ŁŁ Æ º łŁı Łæ º.

1 ˇ ƺ ß Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º.

˚ Œº ææŁ æŒŁ

ƺ Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º æ æ :

1. ˇ ƺ

´ Ł ª (1770) æ º ŁŁ æ Œ ª º ª Łæº Ł

æ ß s = s (k )

Ł º ßı k − ı æ Ø æ ŁŒæŁ ß k > l ;

2. ˇ ƺ

ˆ º Æ ı æ º ŁŁ ßı º ßı Łæ º, Æ º łŁı 5,

æ Ø ı

æ ßı Ł ƺ غ - ˆ º Æ ı æ º ŁŁ ßı Łæ º,

Æ º łŁı 2, æ

Ø ı æ ßı ( æ º ß 1742);

˛æº ƺ

ƺ ˆ º Æ ı . ˇ ƺ æ º Ł º ßı Łæ º æ -

Ø ª Ł

ª Łæº æ ßı;

3. ˇ ƺ

Ł - ¸Ł º æ º ŁŁ æ Œ ª º ª Łæº , Æ º ł ª 1,

Ł æ ß

æ ª Ł ı Œ (æ ºŁ 20-ı ªª. 20 .);

4. Ł Ł

ƺ ºŁ º Ø;

5. ˇ ƺ

ºŁ º Ø Ł ł ;

6. ˙ Ł

æ º ŁŁ æ ı æ Æ º łŁı ßı Łæ º æ Ł ı

Łæ º æ ª Ł

ß Łæº æ ßı æ Ł º Ø;

7. ˙ Ł

æ º ŁŁ ºßı Łæ º Œ Ł ß Ł Ł æ Ł ß -

ß Ł Ł º ªŁ ß Ł; Œ ªŁ Ł.

˜º ł Ł Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º Ł æ ºŁ Ł æŒŁ , ºª Æ-

Ł æŒŁ , º ß Ł æ ł ß ß, Œ ß, æ ß -

æ ßı æ Æ Ł ı. ´ ŁæŁ æ Ł ł Ł , Ł Ł ß Ł ı

æ æ Ø æ ªŁ ºß ŁŁ Łæ º - ºŁ Ł æŒ Ł Łæ º, ºª Æ Ł æŒ Ł Łæ º, æ Ł Łæ º. ææ Ł æ ß ß Ł Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º º æ Ł.

1.1 ˇ ƺ ´ Ł ª .

ˇ ƺ ŁŁ Łæ º, æ ºŁ . ´

Ł ª (¯. Waring) 1770 ª. æº -

ø Ł : æ Œ º Łæº æ æ

ß ı Œ , Ł Œ Æ ,

Ł ßı æ Ø. ˜ ªŁ Ł æº

Ł:

º º Æ ª n > 2 æ ø æ -

Œ k = k (n ) , Łæ ø º Œ n , º Æ

º Łæº æ æ A : n

æ Ø Ł º ßı ºßı Łæ º. ˇ

Æø

ł Ł ƺ ß ´ Ł ª æ

ª Æ Ø Œ Ø ºŁ Ł ß k ŁæŁ æ Ł

n

1909 ª. ˜. ˆŁº Æ (D.

Hilbert), æ Ł æ ƺ ´ Ł ª Ł ª

ß

æ ƺ Ø ˆŁº Æ - ´ -

Ł ª . ¯æºŁ Jk,n (N ) Æ Ł Łæº ł

Ł

ŁØ

ºßı Ł º ßı Łæº ı

ˆŁº Æ

Ł º Æ N > 1.

, æ ø æ K = k (n ), º Œ ª Jk,n (N ) > 1

´ 1928 ª. ˆ. X.

Ł Ł ˜

. ¨. ¸Ł º (G. ˝. Hardy, J . ¯. Littlewood), Ł Ł

Œ ƺ ´ Ł ª Œ ª Ø , Œ ºŁ, Ł k > (n − 2)2n −1 + 5 º Jk,n (N )

Ł æ æŁ Ł æŒ º Ł

Jk,n (N ) = AN k/n −1 + O (N k/n −1−γ )

ª A = A (N ) > c 0 > 0, c 0 Ł γ > 0 - Œ ß æ ß . º º , Ł

N > N 0 (n ) Łæı Ł Ł ł Ł . ´ æ Ł æ Ł º ŁŒºŁ

Ł ƺ ß: æ Ł Œ ı ºŁ Ł G (n ),g (n ),k 0 − Ł łŁı ºßı

Łæ º, º Œ ßı:

) Łæı Ł łŁ Ł k > G (n ) Ł N > N 0 (n );

Æ) Łæı Ł łŁ Ł k > g (n ) Ł N > 1;

) º ºŁ Ł ß Jk,n (N ) Ł k > k 0 (n ) Ł æ Ł … ßł æŁ ŁæŒ º .

) ¨ æ , G (n ) > n + 1

´ 1934 ª. ¨. . ´Ł ª Ł øŁ æ ª Ł Œ º, G (n ) 6

3n (lnn + 9)

˚ ª , Ł æ ª º æŁ º G (n ) º Æ º łŁı ŁØ n : G (4) = 16 (X. ˜ , ˝. Davenport, 1939), G (3) = 7 ( . ´. ¸Ł Œ, 1942).

Æ) ´ 1936 ª. ¸. ˜ŁŒæ . ˇŁºº (L. Dickson, S. Pillai), Ł Ł ´Ł ª -

, Œ ºŁ,

º æ ı n > 6, º Œ ßı

ˇ æº æº Ł Œ ˚. º (˚. Mahler) 1957 ª. º æ ı æ

Æ º łŁı n .

) ˝ Łº łŁØ º Ł º Ł ¨. . ´Ł ª , Œ ßØ Œ º,

k 0 6 4n 2 lnn.

º Œ º æ ƺ ß ´ Ł ª . ´. ¸Ł ŁŒ 1942 ª. ø æ ª ºŁ ßı Æ Æø ŁØ ƺ ß ´ Ł ª ( ß Æ ª

Œ æ æ º ßı Łæ º; æ º

æ º ŁŁ Łæº n ææ Ł æ ª º ß f 1 (x 1 ),f 2 (x 2 ),...,fk (xk ); æ

Łæı ª Ł ææ Ł æ æ Ł Ł . .). ˛æ Æ Ł ƺ ß ´ Ł ª æ æ Ł , Ł ł ŁŁ æ ß ø ß ß ºŁ Ł æŒ Ø ŁŁ Łæ º.

1.2 ˇ ƺ ˆ º Æ ı .

˛ Ł Ł æ ßı ƺ ŁŁ Łæ º. ˙ Œº æ Œ º æ ª , æ Œ º Łæº , Æ º ł ŁºŁ ł æ Ł, Æß æ º Ł æ ß ı æ ßı Łæ º. ƺ ß Ł º 1742 ª. X. ˆ º Æ ı (Ch. Goldbach)

Łæ Œ ¸. غ (L. Euler). ´ ¸. غ Łº, º ł Ł ƺ ß æ Œ , Œ Łæº æ æ ı æ ßı. ´ Ł

ºª ª Ł º æ Ø Ł ŁŒ ŒŁı Ø Łææº Ł ƺ ß ˆ º Æ ı .

´ 1923 ª. ˆ. Ł Ł ˜ . ¸Ł º (G. Hardy, J. Littlewood) º æ Œ , æºŁ ß Œ ß ß ( Œ ß Ł ß ) æŁ º L˜Ł Łıº , æ Œ æ Æ º ł Łæº æ æ ı æ ßı Łæ º.

´ 1937 ª. ¨. . ´Ł ª æ º ßØ º æŒ Ø ŁŁ Łæ º Œ Łª Ł æŒŁı æ æ æ ß Ł Łæº Ł, æ ø Œ ª -

Œ º æŁ Ł æŒ º º Œ ºŁ æ æ º ŁØ ª Łæº æ Ø ı æ ßı Łæ º. ¨ Ø ºß æº , Œ æ Æ º ł

Łæº æ æ ı æ ßı Łæ º. - Ł Œ ØłŁı æ Ł ŁØ æ Ø ŁŒŁ.

¨. . ´Ł ª ºŁº łŁ Ł æ ø æ Æ º ÆøŁı . ˙ ÆŁ ŁŁ ª Łæº æ ı æ ßı ø ł .

1.2.1 ( Œ Łª Ł æŒŁı æ . ( ¨. . ´Ł ª )

˛ Ł Ł æ ßı æŁº ßı Ł ÆøŁı ºŁ Ł æŒ Ø ŁŁ Łæ º Łª Ł æŒŁı æ Æߺ æ ¨. . ´Ł ª ß . ªŁ ƺ ß ºŁ Ł æŒ Ø

ŁŁ Łæ º º æ ºŁ æ ߌ Œ ßı æ æº ª ßı Ł

cosF (x 1 ,...,xn ) + i sinF (x 1 ,...xn ),

ª F (x 1 ,...,xn ) Øæ

Ł º º Łæº Œ Ł . ŒŁ Æ ,

æ Ł Łı ƺ

æŁ æ Ł Ł ŒŁı æ Ł, æ æ Ł, -

º Ł

Æ º Ø ŒŁ º ŒŁı æ . ¨. . ´Ł ª ,

Łæ º ªº Æ ŒŁ Ł

Ł æŒŁ æ Øæ ææ Ł ßı æ , º Łº ŁæŒº -

Ł º æŁº ß ŒŁ

º łŁ Œ ª Œº ææ ŒŁı æ . ºŁº

´Ł ª º Ł

º ß , ƺŁ ŒŁ Œ º ß º -

ß º æ

ŁŁ Łæ º ŒŁı Œº ææŁ æŒŁı ı, Œ Œ ƺ

´ Ł ª , ƺ ˆŁº Æ

˚ Œ , ƺ Œ æ ´ غ . ˜ ªŁ æº æ Ł-

Œ Łª

Ł æŒŁı æ Æߺ ł Ł Ł Ł ßı ƺ

æ æ ß Ł Łæº Ł Ł,

æ æ Ł, ł Ł ƺ ß ˆ º Æ ı .

1.3 ˇ ƺ

Ł - ¸Ł º .

˙ ı Ł æŁ

Ł æŒ Ø ºß º Łæº Q (n ) ł ŁØ Ł

p + x 2 + y 2 = n,

ª p - æ , x Ł - ºß , n - º Łæº . º ª Ø Ł º æ ƺ ı Ł æŁ ŁŒŁ º Łæº ł ŁØ Ł

p x 2 y 2 = l,

ª l - ŁŒæŁ

º

Łæº , p 6 n (n → ∞). X. -¸.

. Æߺ

æ º ˆ.

-

Ł (G. Hardy) Ł ˜

. ¸Ł º

(J. Littlewood) 1923 Ł

ææ

Ł Ł æ

Łæ Ł æŒŁı Ł ªŁ

Ł

æŒŁı æ Æ ŁØ.

˜Łæ æŁ ßØ

,

Æ ßØ . ´. ¸Ł ŁŒ ,

ºŁº

Ø Ł æŁ

-

ŁŒ º ª

Ł :

,

ª

¨

º ªŁ Ø ºß º ª Ł æº Æ æŒ

æ æ

æ ßı

Łæ º Ł = x 2 + y 2 + l . ø Łæ æŁ ª

Ø æŁ

-

ŁŒ

º Łæº ł ŁØ Æ Æø ª Ł Ł - ¸Ł º

p + ϕ (x,y ) ª

p

- æ

.

, ϕ (x,y ) - Ł Ł Ł º Ł º º

Œ Ł

— ææ

Ł º ªŁ ª Ł p ϕ (x,y ) = l Ł Ł

Œ Œ º æ

Æ æŒ

æ Ł æ æ ßı Łæ º Ł p = ϕ (x,y ) + l

´Ł ª - ` Æ Ł æ º ŁŁ æ ßı Łæ º Ł Ł æŒŁı

.

ª ææŁ ı æ Œ æ º ł Ł ƺ Ł - ¸Ł º , Œ Ł æŒŁ æłŁ ªŁ —Ł Ł Ł Æ º ł ª ł .

1.3.1 ´Ł ª - ` Æ Ł.

ˇ æ Ł Łæ º æ Œ Ł :

,

ª

ψ (y,k,l ) = X = X λ (n ).

n 6ynlmodk

, æ ø æ æ ß c 1 > 0 Ł c 2 > 0 ŒŁ ,

,

4 logx

ª k 0 < e = z 1 − º , º Œ ª æ ø æ Ł æ ßØ Ł Ł Ł ßØ

Øæ Ł º ßØ Ł Ł Ł ßØ ı Œ χk 0 Œ Ø, L (s,χk 0 ) Ł º Ł s =

√ 11/ 18 −A

∆(Q,x ) 6 c (A )( xQ logx + x logx )

Ł º Æ A .

1.4 Ł Ł ƺ ºŁ º Ø.

Ł Ł ƺ ºŁ ª Ł æ Ł :

,

º Ø - ƺ , Œº ø æ

X

τ k 1τ k 2(m + a ) m 6n

X

τk 1 τk 2 (n m ), m<n

ŁæŒ

æŁ Ł

æŒ -

ª τk (m )− Œ ºŁ æ

ºŁ ßı º ŁØ º ª Łæº

k

Ł

º Ø, æ Ł

Ł

Œ k 1 , Ł k 2 > 2− -

º ß Łæº , a - ŁŒæŁ

º

Łæº ,

ºŁ -

º , n - æ

Æ º ł º Łæº . ´

æ

æ Ł, τ 2 (m ) = τ (m ) -

Łæº ºŁ º Ø º Łæº

ŁØ

m . ß ß , æ æ

x 1 x 2 ...xk 2 y 1 y 2 ...yk 1 = a, x 1 x 2 ...xk 1 y 1 y 2 ...yk 2 = n.

, Œ ºŁ æ

ł ŁØ

Ł Ł ƺ

ºŁ º Ø Ł k 1 = 2 Ł º Æ

º

k 2 Æߺ

ł æ

ø Łæ æŁ ª

. ´. ¸Ł ŁŒ .

Æ

ææ

º .

1.5 ˇ ƺ ºŁ

º Ø Ł ł .

ˇ ƺ ºŁ º Ø Ł

ł : ?= - æ , ? = xy, x, y

º ß ;

ˇ ƺ ßæŒ Ł æŁ Ł æŒ Ø ºß º Łæº ßı ŁØ Ł :

p xy = a,p < N, p + xy = N,p < N,x,y ∈ N

ª p − æ Łæº a − ŁŒæŁ º .

Æø - ŁæŒ æŁ ŁŒŁ º æ Ł :

ł ŁØ

º… -

. ˛ æ Ł Ł ß ˙Łª º ß Œ ,

X

τ (p − 1), p<N

ª τ (p )− Łæº ºŁ º Ø n .

ˇ ƺ ºŁ º Ø Ł ł Æߺ æ º . Ł ł (¯. Titchmarsh, 1930) Ł ł Ł æº º ŁŁ æ ºŁ æ Ł æłŁ Ø ªŁ ß —Ł ( … ææ Ł Ł ) . ˜Łæ æŁ ßØ , Æ ßØ . ´. ¸Ł ŁŒ , º Ø Ł æŁ ŁŒ Łæº ł ŁØ º º… ª Ł :

pxy = a,p < N, Ł a = 1, `. . ` ŁıŁ

łŁº

º º Æ ª ŁŒæŁ -

ª a 6= 0. ` ª ε > 0.

ŁıŁ Œ º æŁ

Ł

æŒ

º æ æ Œ O (N/ (ln1+ε N )),

´Ł

ª - ` Æ Ł

æ

º ŁŁ

æ ßı Łæ º Ł Ł æŒŁı

ª ææŁ ı

æ Œ Ł Ł

Œ

ł Ł

ƺ ß ºŁ º Ø Ł ł .

ˇ Ł

º Ł æ ºŁ

æ Ł

æłŁ

Ø ªŁ ß —Ł æ

Œ Ł æŒŁ

).

Ł Ł Æ º ł ª

ł

( Ł

ß Æ ææ ß Ł

1.5.1 ˆŁ

—Ł .

˜º º

æ Ł º Ł

- Œ ŁŁ. ˜ - Œ Ł ζ (s )− -

ºŁ Ł æŒ

Œ Ł Œ º Œæ ª

ª s = σ + it, Ł σ > 1 º æ

Ææ º Ł

æı øŁ æ

˜Ł Łıº :

˙ Ł

- Œ ŁŁ

,

º

Łæº

ºŁ ßı ª ª

æ

Łæº .

: μ

æ

æ ß

Łæº ,

ª Œº

Ł ª æ ª

—Ł

1859 ª. ßæŒ

º

º

Ł

æ

Ł æ ßı

Łæ º æ Re = 1/ 2 -

Œ ŁŁ,

Œ º

Łº,

æ

Øæ

Ł

º ß ºŁ

- Œ ŁŁ æ º -

ß

Ø Re = 1/ 2.

¨ Œ,

Œ Ł ζ (s )

º

º æ ı Œ

º Œæ ßı s 6= 1, Ł Ł ºŁ º Ł-

º ßı ºßı s = −2, −4, −6... ¨ Œ Ł º ª Ł

s )ζ (1 − s ), Ł ª ß Ł Ł s > 1 æº , æ æ º ß

ºŁ, ß ß Ł Ł º ß Ł¿, æ º ß º æ 0 6 s 6 1 æŁ Ł æŁ º Œ ß Ø "Œ Ł Ł æŒ Ø ºŁ ŁŁ" R. ˆŁ —Ł , :

´æ Ł Ł º ß ºŁ - Œ ŁŁ Ł Øæ Ł º æ ,.


˛Æ Æø…

ªŁ —Ł

æ æ

Ł Ł ª æ ª

Ł

º Æ Æø -

ŁØ -

Œ ŁØ, ß

ßı L-

Œ Ł Ł ˜Ł Łıº .

2 æ º.

ß ł

Ł

ƺ Ł Ł

Ø

ŁŁ Ł-

ˇ ß æŁæ

Ł æŒŁ

º ß

Ł Ł Ø ŁŁ

Łæ º ÆߺŁ

º ß ¸ -

غ

(1748), Œ

ßØ Łææº

º æ ø æ

ßı

º Ł

ºßı Łæ º

º Ł º

ß æº ª

ß , æ æ Ł, Ł Æߺ ææ

º ŁŁ

Łæº

Œ ºŁ

æ æº ª ßı.

2.1 Œ ŁŁ Œ Ł øŁ Œ Ł .

ªŁ Œº ææŁ æŒŁ Ł Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º ł æ Œ ŁŁ Œ Ł øŁ Œ Ł . æı Ł Œ ¸. غ Ł º Ł æ -

ºŁ Ł æŒŁı , Ł ßı ˆ. X. Ł (G. H. Hardy), ˜ . ¨. ¸Ł º (J. ¯.

Littlewood) Ł ¨. . ´Ł ª ß . ¨æı Ø º æ Ł æ æ º Ł ß æº º æ :

Ai = {ai },ai > 0,a Z,i = 1, 2, 3,... æ ßı : æ Ł ø Ø Œ Ł Ø

,

ª r (n ) = rk ,A (n ) − Œ ºŁ æ æ º ŁØ Łæº Ł :

n = a 1 + a 2 + ... + ak ,ai Ai ,A = {A 1 A 2 ,... }.

ˇ Ł r (n ) ß Łæº æ Ł øŁ Ł ª º ˚ łŁ. ´ ´Ł ª æ ß ß æ Łª Ł æŒŁ Ł æ Ł:

¨ r (n ) ß º æ ªº

æ , æ æ ø

Ł Ł º , æ æ ßı

Œ æ æ Ł Œ ßı Ł

º ßı Œ. ´

æ ºŁ Ł æŒŁı æ Øæ F (z ), -

Æ øŁı Ł Ł

Ø ŁŁ Łæ º

Ł º Ł ªŁ , º ªŁ ßı ªŁ-

—Ł , º

º Ł ß Łæº

ŁŁ r(n) Łª Łæ Ł Ł æŒŁ

ŒŁ Łª Ł . æ

´Ł ª

Ł Œ ß æ º Ł æ ßı

Łæ º Ł Ł æŒŁı ª

ææŁ ı, º

ß æ ß Ł Ł -

ŁŁ L- Œ ŁØ ˜Ł Łıº . æ

ºŁ æ ,

ŁæŁ æ Ł k ºŁÆ r (n ) 6= 0 º

æ ı n > 1, ºŁÆ r (n ) 6= 0 º

æ Æ º łŁı n n > n 0 (A ), ºŁÆ Ł º æ ı

ß º æ æ ł Ł r (n ) 6= 0, . .

,

ŁºŁ, Œ , º r (n ) Ł æ æŁ Ł

æŒ

º . ˝ Ł

ł Łæº k, º -

ø Ł Łæº ßı æº

ŁØ, Æ

æ æ

æ g (A ), G (A ),

G 0 (A ), k 0 (A ). ´ æº {ai } = {p }, ª {p }−

æº

º æ

æ ßı Łæ º, Ł k =

3 º æ ´Ł ª : æ Œ

æ

Æ º ł

Łæº

Æß æ º Ł æ ß ı æ ßı Łæ º; Ł k = 2 - Œ : Ł æ ß Łæº ª Æß æ º ß Ł æ ß ı æ ßı Łæ º.

2.2 ß ł . ¨ææº Ł æ Œ ß æ .

˝ Œ ß Ł Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º ł æ Ł øŁ Łææº Ł æ Œß æ , º øŁıæ º æ Ł Ł æº º æ Ø Ai ai ,

ßı ºŁł Łı º æ Ł, ª Ai (n ) = P 16 ai 6 n 1. ¨ º Ł º æ Ł dn (Ai ) Ł A 1 = A 2 = ... = Ak = A æº , g (A ) < ∞. ˇ Ł Ł ª

Œ Œ Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º, Œ ßı æ Ł æ æº º æ Ł º Ø º æ Ł, æ ø æ º æ Œ æ Ł Ł Ł ßı æº -

º æ Ø ßı æº º æ Ø æ º Ł º Ø º æ . ´ ø º

Ł Łª ß ł , æ ø Œ ßı Œ ß æ º Ł º æ

d (Ai ). ŒŁ æ æ Æ ¸. ˆ. Ł º Œ æ Ł æ Ł -

º ßı Łæ º Ł æ ß ª Ł ª Łæº æ ßı æº ª ßı, . ´. ¸Ł ŁŒ

Ø º ł Ł ƺ ß ´ Ł ª .

º ß ß ł , Ł º øŁ ´. ´ Ł . º Æ ª , Ł

Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º Œ º , æ ß Œ æ ß

ºŁ Ł æŒŁ æ æ . ˛ Œ ŁÆ º Œ ß ł Ł Œ ßı Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º º æ Œ ÆŁ Ł Ł ºŁ Ł æŒŁı Ł º ßı . ´ ı ł Ł Ł ßæ Ł Ł æ ßı Łæ º Ł º ª

( ł æ ) æ æ æ æ Œ æ Ł æº º æ Ø. Œ, ßæ Ł Ł æ º Ø æ Ł æº º æ Ø {m} Ł

{2n - m} æ ßı Łæ º, 6 nθ 1 Ł, æ æ 6 nθ 2 ª (θ 1 < 1 Ł θ 2 < 1 º øŁ

Æ ßÆ ß º Ł º ß Œ æ ß), Ł Ł Œ ł Ł Œ ß Ø

Œ Ł ƺ ß ˆ º Æ ı - غ æ º ŁŁ ª Łæº æ Ø ı Łæ º, Ł Œ ßı Ł Æ º k 1 , ª - Æ º k 2 æ ßı Ł º Ø.

2.2.1 º Æ ª .

º Æ ª - æ Ł º ßØ Ł æ Ł æ º ßØ ł -

, æ ßØ º º Æ ª . — ł º Æ ª º ı ł Ł æ ı æ Ł ø Œ Ł S (;,z ), Æ ø Œ ºŁ æ º Œ ª -

æ A ºßı Łæ º, Œ ß º æ æ ß Łæº p < z Ł Ł º Œ æ P æ ßı Łæ º.

ˇ æ P (z ) = Qp<z,pP p. º Æ ª æ Ł æ

,

Œ Ł l 1 = 1 º Ł º ßı Øæ Ł º ßı Łæ º. ¨ º Æ -

ª æ æ Ł , Æß, º Ł ld = 0 º d > z , Ł Ł Ł Ł æ æ º ø ª ßÆ æ łŁıæ Łæ º λd (2 6 d < z ).

´ Œ ÆŁ ŁŁ æ ªŁ Ł Ł ł ł º Æ ª º º

ŒŁ æ Ł , æ Æ æŁº ß Ł Łæ º ŁŁ æ ßı Œ ŁØ.

2.2.2 — ł æ .

— ł æ - , Æ ßØ æ (3 . . .) Ł º øŁØ æ Ł æ æ ß Łæº Ł º ª . ø æ æ

Œº æ æº ø . ˙ ŒŁ æ Ł Ł . Łæº 2 - æ . ˙ ŒŁ æ æ º ß Łæº , º øŁ æ 2. Łæº 3 - Œ Łæº - Æ æ ß . ˜ º ŒŁ æ æ º ß Łæº , Œ- ß º æ Ł

2 Ł 3. Łæº 5 - Œ Łæº - Æ æ ß . ˇ º º -

ªŁ ß ß Łæº Ł , Ø Ł æŒ º ª Æ º ł Ø Œ æº º æ Ł æ ßı Łæ º. — ł æ łº Ł Ł ªŁı Æ º æŁº ßı ı ł ( Ł ł ´ ).

2.3 ˜Łæ æŁ ßØ .

´ 1959 . ´. ¸Ł ŁŒ Æߺ Æ ˜Łæ æŁ ßØ . ˛ Ł Ł ŁŁ Łæ º º ł Ł Œ ßı ÆŁ ßı ŁØ (ÆŁ ßı Ł Ł ßı ƺ

) Ł

α + β = n,

ª α Ł β Ł º Œ æ ª æ ß Ł ı ł æ º ß Ł Ł æŒŁı ª ææŁ ı æº º æ º ßı Łæ º. ˜Łæ æŁ ßØ , æ Ł æ Æ º ß ŁŒ - æ ß Ł ( æ æ Ł, -

Ł Łæ æŁŁ Ł æ Ł Æßł ) æ ºŁ Ł æŒŁ Ł Ł ºª Æ Ł æŒŁ Ł

Ł Ł ¨. . ´Ł ª Ł . ´ غ (A. Weil). ø æ æ æ Ł æº -

ø . ¨æı ÆŁ Ł æ Ł æ Œ Ł Ł :

υD 0 + β = n ;

æ υ,D ŁæŁ Æ ª Œ ß Ł Ł ª º Ø Æº æ Ł ª υ Ł D - Œ ß Ł ºß; Ł Łæº υ - æ ß , D ª Æß º ß ºŁ ß º Ł º ß æº Ł . ˇ æ F Æ Łæº ł ŁØ ª Ł . ª º Ł Ł :

υD + β = n

Ł Ł º D ∈ (D ), Ł (n,D ) Æ Łæº ª ł ŁØ, Ø ßı

Ł Œ ŒŁı-ºŁÆ Łæ Ł æŒŁı æ Æ ŁØ. ª ªŁ Ł æŒŁ Łæº Ł ßı ł ŁØ Ł Łæß æ Ł :

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˛ Œ æ Ł F S = V Ł Ł :

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