| Скачать .docx | Скачать .pdf |
Курсовая работа: Курсовая работа: Вивчення систем, еквівалентних системам з відомим типом крапок спокою
Курсова робота
"Вивчення систем, еквівалентних системам з відомим типом крапок спокою"
Реферат
Курсова робота складається з _____ сторінок, 3-х джерел.
Ключові слова: вложима система, з відомим типом крапок спокою, перший інтеграл диференціальної системи, функція, клас систем еквівалентних системі з відомим типом крапок спокою.
Метою курсової роботи є дослідження системи з відомим типом крапок спокою, знаходження першого інтеграла системи, застосування теореми про еквівалентність диференціальних систем.
Зміст
1. Визначення вложимої системи. Умови вложимості
3. Знаходження першого інтеграла диференціальної системи й умови його існування
5. Застосування теореми про еквівалентність диференціальних систем
Введення
У курсовій роботі розглядається вложима система з відомим типом крапок спокою. Як відомо система є вложимою, якщо будь-який компонент цієї системи вложима, тобто система вложима тоді й тільки тоді, коли множина її рішень є підмножиною множини рішень деякої лінійної стаціонарної системи.
В 1-2 м пунктах розглядається вложима система, з відомим типом крапок спокою. Далі перевіряємо чи є x і y загальним рішенням нашої системи рівнянь.
В 3-м ми знаходимо перший інтеграл системи й перевіряємо виконання тотожності.
В 4-м пункті досліджуємо функції, що відбивають
В 5-м пункті застосовуємо теорему про еквівалентність диференціальних систем
1. Визначення вложимої системи. Умови вложимості
Розглянемо диференціальну систему
D. (1)
Будемо називати i-ю компоненту x
системи (1) вложимої, якщо для будь-якого рішення x (t) = (x
(t),…,x
(t)),t
, цієї системи функція x
t, є многочленом. У такий спосіб i-я компонента системи (1) вложима тоді й тільки тоді, коли для кожного рішення x (t) цієї системи існує лінійне стаціонарне рівняння виду
, (2)
для якого
є рішенням. Загалом кажучи, порядок і коефіцієнти рівняння (2) залежать від вибору рішення 
. В окремому випадку, коли компонента 
будь-якого рішення системи (1) є одночасно й рішенням деякого, загального для всіх рішень рівняння (2), компоненту 
системи (1) будемо називати сильно вложимої у рівняння (2).
2. Загальне рішення системи
Розглянемо вложиму систему
(1)
(b>0 і а-постійні) із загальним рішенням
, якщо з
0;
x=0, y=at+c, якщо з=0, де постійні з, з, зі
зв'язані співвідношенням з
(b+c
+c
) =a, має два центри в крапках
і 
. Рішення:
Підставимо загальне рішення
у нашу систему (1) одержимо
=
=c (c cosct-c sinct) =
a-
Для стислості розпишемо знаменник і перетворимо
x +y
+b=
=a+c (c sinct+c cosct)
a-
Одержуємо, що x і y є загальним рішенням системи.
3. Знаходження першого інтеграла диференціальної системи й умови його існування
Розглянемо систему 
= f (t, x), x= (x
,…,x
), (t,x) 
(1)
с безперервної в області D функцією f. Функція U (t, x), задана в деякої під області G області D, називається першим інтегралом системи
(1) в області G, якщо для будь-якого рішення x (t), t
, системи (1), графік якого розташований в G функція U (t, x (t)), t, постійна, тобто U (t, x (t)) залежить тільки від вибору рішення x (t) і не залежить від t.
Нехай V (t, x), V: G
R
, є деяка функція. Похідній від функції V у силу системи (1) назвемо функцію V
V
R,
обумовлену рівністю
V
(t, x (t)) 
t
.
Лема 1.
Для будь-якого рішення x (t), t, системи (1), графік якого розташований в G, має місце тотожність
V
t.
Без доказу.
Лема 2.
Функція U (t, x), U: G R,
являє собою перший інтеграл системи (1) тоді й тільки тоді, коли похідна U
у силу системи (1) тотожно в G звертається в нуль.
Необхідність. Нехай U (t, x) є перший інтеграл системи (1). Тоді для будь-якого рішення x (t) цієї системи, застосовуючи лему 1 будемо мати тотожності
U
Звідки при t=t
одержимо рівність U (t
справедливе при всіх значеннях t
і x (t). Необхідність доведена.
Достатність. Нехай тепер U
при всіх (t, x) 
Тоді для будь-якого рішення x (t) системи (1) на підставі леми 1 будемо мати тотожності
а з ним і достатність.
З визначення першого інтеграла треба, що постійна на G функція також є першим інтегралом системи (1). Перший інтеграл U (t, x) будемо називати на G, якщо при всіх (t, x) 
виконується нерівність.
Функцію U (x) будемо називати стаціонарним першим інтегралом системи (1), якщо вона не залежить від t і є першим інтегралом системи (1).
Знайдемо перший інтеграл нашої системи:
Піднесемо до квадрата й виразимо з
y
Покладемо 
, одержимо
Перевіримо, що функція 
- це перший інтеграл системи (1), тобто перевіримо виконання тотожності 
(2)
Знайдемо похідні по t, x, y
Після вище зроблених перетворень одержуємо, що функція 
- це перший інтеграл системи (1), 2) Покладемо 
, тобто 
, де 
, Q
3) Перевіримо виконання тотожності:
(3), де 
Перетворимо (3).
[у нашім випадку 
] =
=
[з огляду на всі зроблені позначення] =
=
=
=
[через те, що 
котре у свою чергу як ми вже показали їсти тотожний нуль] 
Таким чином, тотожність (3) щире.
4. Функція, що відбиває
Визначення. Розглянемо систему
(5)
вважає, що права частина якої безперервна й має безперервні частки похідні по 
. Загальне рішення у формі Коші позначений через 
). Через 
позначимо інтервал існування рішення 
. Нехай
функцією, що
відбиває, системи (5) назвемо функцію 
, обумовлену формулою
Для функції, що відбиває, справедливі властивості:для будь-якого рішення 
системи (5) вірна тотожність
для функції, що відбиває, F будь-якої системи виконані тотожності
3) функція 
буде функцією, що відбиває, системи (5) тоді й тільки тоді, коли вона задовольняє системі рівнянь у частинних похідних
і початковій умові
5. Застосування теореми про еквівалентність диференціальних систем
Одержуємо 
де 
- будь-яка непарна безперервна функція.
Поряд з диференціальною системою 
(1) розглянемо обурену систему
(2), де - будь-яка безперервна непарна функція. Відомо по [3], що диференціальна система 
(3) еквівалентна обуреній системі 
(4), де 
безперервна скалярна непарна функція задовольняючому рівнянню 
Тому що вище вже показано, що функція 
де 
{є перший інтеграл} задовольняє цьому рівнянню, те справедлива наступна теорема.
Теорема 1.
Система (1) еквівалентна системі (2) у змісті збігу функції, що відбиває.
Тому що система 
(1) має дві особливі крапки, у кожній з яких перебуває центр, те й система (2) має центри в цих крапках.
Висновок
У даній курсовій роботі розглянута вложима система з відомим типом крапок спокою, перевірене задоволення загального рішення нашій системі, знайдені перший інтеграл і перевірений виконання тотожності, потім за допомогою теореми 1 доведена еквівалентність диференціальних систем. Сформульовано визначення вложимої системи, першого інтеграла, що відбиває функції й загальні властивості функції, що відбиває. Сформульована теорема за допомогою якої ми довели еквівалентність нашої системи з диференціальною системою.
Список джерел
1. Мироненко В.І. Лінійна залежність функцій уздовж рішень диференціальних рівнянь. - К., 2001.
2. Мироненко В.І. Функція, що відбиває, і періодичні рішення диференціальних рівнянь. - К., 2004.
3. Мироненко В.І. Збурювання диференціальних систем, що не змінюють тимчасових симетрій. - К., 2004 р.