Скачать .docx Скачать .pdf

Курсовая работа: Курсовая работа: Статистические методы обработки экспериментальных данных

Министерство образования Российской Федерации

Московский государственный университет печати

Факультет полиграфической технологии

Дисциплина: Математика

Курсовая работа по теме:

«Статистические методы обработки

Экспериментальных данных»

Выполнил: студент

Курс 2

Группа ЗТПМ

форма обучения заочная

Номер зачетной книжки Мз 023 н

Вариант № 13

Допущено к защите

Дата защиты

Результат защиты

Подпись преподавателя

Москва – 2010 год


0;3 3;6 6;9 9;12 12;15 15;18 18;21
4 6 9 11 14 18 13
21;24 24;27 27;30 30;33
11 7 4 3

1. Построение интервального и точечного статистических распределений результатов наблюдений. Построение полигона и гистограммы относительных частот.

i – порядковый номер;

Ii – интервал разбиения;

xi – середина интервала Ii ;

ni – частота (количество результатов наблюдений, принадлежащих данному интервалу Ii );

wi = - относительная частота (n =- объём выборки);

Hi = - плотность относительной частоты (h – шаг разбиения, т.е. длина интервала Ii ).

i Ii xi ni wi Hi

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

0;3

3;6

6;9

9;12

12;15

15;18

18;21

21;24

24;27

27;30

30;33

1,5

4,5

7,5

10,5

13,5

16,5

19,5

22,5

25,5

28,5

31,5

4

6

9

11

14

18

13

11

7

4

3

0,04

0,06

0,09

0,11

0,14

0,18

0,13

0,11

0,07

0,04

0,03

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,04

0,04

0,02

0,01

0,01

Объём выборки:

n ==100,

wi = ni /100;

контроль: =1

Длина интервала

разбиения (шаг):

h = 3 ,

Hi =

å : 100 1,00

Статистическим распределением называется соответствие между результатами наблюдений (измерений) и их частотами и относительными частотами. Интервальное распределение – это наборы троек (Ii ; ni ; wi ) для всех номеров i, а точечное – наборы троек (xi ; ni ; wi ). Таким образом, в таблице имеются оба – и интервальное, и точечное - статистическое распределения.

Далее, строим полигон и гистограмму относительных частот.

Полигон.

Гистограмма.

Полигон относительных частот – ломаная, отрезки которой последовательно (в порядке возрастания xi ) соединяют точки (xi ; wi ). Гистограмма относительных частот – фигура, которая строится следующим образом: на каждом интервале Ii , как на основании, строится прямоугольник, площадь которого равна относительной частоте wi ; отсюда следует, что высота этого прямоугольника равна Hi = wi /h– плотности относительной частоты. Полигон и гистограмма являются формами графического изображения статистического распределения.

2. Нахождение точечных оценок математического ожидания и

дисперсии.

В качестве точечных оценок числовых характеристик изучаемой случайной величины используются:

- для математического ожидания

= (выборочная средняя ),

- для дисперсии

s2 = (исправленная выборочная ),

где n – объём выборки, ni – частота значения xi .

Таким образом, в статистических расчетах используют приближенные равенства

MX» , DX»s2 .

Нахождение точечных оценок математического ожидания и дисперсии по данным варианта осуществим с помощью расчетной таблицы.

i xi ni xi ni (xi - )2 ni

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1,5

4.5

7,5

10,5

13,5

16,5

19,5

22,5

25,5

28,5

31,5

4

6

9

11

14

18

13

11

7

4

3

6

27

67,5

115,5

189

297

253,5

247,5

178,5

114

94,5

829,44

779,76

635,04

320,76

80,64

6,48

168,48

479,16

645,12

635,04

744,12

= =

хi ni /100 = 1590/100= 15,9

s2 = =

= 5324,04/99=53,78

å : 100 1590 5324,04

3.Выдвижение гипотезы о распределении случайной величины.

При выдвижении гипотезы (предположения) о законе распределения изучаемой случайной величины мы опираемся лишь на внешний вид статистического распределения. Т.е. будем руководствоваться тем, что профиль графика плотности теоретического распределения должен соответствовать профилю гистограммы: если середины верхних сторон прямоугольников, образующих гистограмму, соединить плавной кривой, то эта линия представляет в первом приближении график плотности распределения вероятностей.

Итак, изобразим график и выпишем формулу плотности нормального (или гауссовского) распределения с параметрами а и , - ¥< а <+¥,


Сравнение построенной гистограммы и графика плотности распределения приводит к следующему заключению о предполагаемом (теоретическом) законе распределения в рассматриваемом варианте исходных данных:

Вариант 13 – нормальное (или гауссовское распределение)

4.Построение графика теоретической плотности распределения.

Чтобы выписать плотность теоретического (предполагаемого) распределения, нужно определить значения параметров и а и подставить их в соответствующую формулу. Все параметры тесно связаны с числовыми характеристиками случайной величины, т.е.

MX = а,

DX = σ2

Поскольку значения математического ожидания и дисперсии неизвестны, то их заменяют соответствующими точечными оценками, т.е. используют (уже упомянутые ранее) приближенные равенства MX», DX»s2 , что позволяет найти значения параметров распределения.

По исходным данным была выдвинута гипотеза о нормальном распределении изучаемой случайной величины. Найдем параметры этого распределения:

_

x = а, 15,9 = а, а=15,9

s2 = σ2 53,78 = σ2 σ=7,33

Следовательно, плотность предполагаемого распределения задается формулой

F(x)= [1/(7,33*√2π)]*e[-( x-15,9)2 / 2*(7,33)2)] =0.054*e^(0,009/((x-15,9)^2))

Теперь необходимо вычислить значения f(xi )плотности f (x) при x=xi (в серединах интервалов) Для этого воспользуемся следующей схемой:


значения фунцкии


при u=ui находятся, например, с помощью таблицы, имеющейся в любом учебнике или задачнике по теории вероятностей и математической статистике.

=15,9; s = 7,33

x i

ui = xi - x / s φ (u i )

1,5

4,5

7,5

10,5

13,5

16,5

19,5

22,5

25,5

28,5

31,5

-1,96

-1,56

-1.15

-0,74

-0.33

0.08

0.49

0,90

1.31

1,72

2.13

0,0584

0,1182

0,2059

0,3034

0,3778

0,3977

0,3538

0,2661

0,1691

0,0909

0,0413

0,008

0,016

0,028

0,041

0,052

0,054

0,048

0,036

0,023

0,012

0,006

Далее, на одном чертеже строим гистограмму и график теоретической плотности распределения: гистограмма была построена ранее, а для получения графика плотности наносим точки с координатами (xi ; f(xi )) и соединяем их плавной кривой.

5.Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона.

Ранее была выдвинута гипотеза о законе распределения рассматриваемой случайной величины. Сопоставление статистического распределения (гистограмма) и предполагаемого теоретического (графика плотности) показывает наличие некоторых расхождений между ними. Поэтому возникает естественный вопрос: чем объясняются эти несовпадения? Ответить на него можно двояко:

1) Указанные расхождения несущественны и вызваны ограниченным количеством наблюдений и случайными факторами – случайностью результата единичного наблюдения, способа группировки данных и т.п. В этом случае выдвинутая гипотеза о распределении считается правдоподобной и принимается как не противоречащая опытным данным.

2) Указанные расхождения являются существенными (неслучайными) и связаны с тем, что действительное распределение случайной величины отличается от предполагаемого. В этом случае выдвинутая гипотеза о распределении отвергается как плохо согласующаяся данными наблюдений.

Для выбора первого или второго варианта ответа и служат так называемые критерии согласия. Словари толкуют слово критерий (от греч. kriterion – средство для суждения) как признак, на основании которого производится оценка, определение и классификация чего-либо.

Существуют различные критерии согласия: К. Пирсона, А.Н. Колмогорова, Н.В. Смирнова, В.И. Романовского и другие. Мы рассмотрим лишь один из них – критерий Пирсона, называемый также критерием c2 («хи - квадрат»). (К. Пирсон (1857 - 1936) – английский математик, биолог, философ – позитивист.)

Критерий Пирсона выгодно отличается от остальных, во – первых, применимостью к любым (дискретным, непрерывным) распределениям и, во – вторых, простотой вычислительного алгоритма.

Правило проверки статистических гипотез с помощью критерия Пирсона будет объяснено на примерах.

Группировка исходных данных.

Применяется критерий Пирсона к сгруппированным данным. Предположим, что произведено n независимых опытов, в каждом из которых изучаемая случайная величина приняла определенное значение. Предположим, что вся числовая ось разбита на несколько непересекающихся промежутков (интервалов и полуинтервалов). Обозначим через nI количество результатов измерений (значений случайной величины), попавших в i-й промежуток. Очевидно, что ånI = n.

Отметим, что критерий c2 будет давать удовлетворительный для практических приложений результат, если:

1) количество n опытов достаточно велико, по крайней мере n³100;

2) в каждом промежутке окажется не менее 5…10 результатов измерений, т.е. ni ³5 при любом i; если количество полученных значений в отдельных промежутках мало (меньше 5), то такие промежутки следует объединить с соседними, суммируя соответствующие частоты.

Пусть концами построенного разбиения являются точки zi , где z1 <z2 < … <zi – 1 , т.е. само разбиение имеет вид

(- ¥ºz0 ; z1 ) , [z1 ; z2 ) , [z2 ; z3 ) , … , [zi – 1 ; zi º+¥).

После объединения соответствующих промежутков (последних двух) и замены самой левой границы разбиения на - ¥, а самой правой на + ¥ (поскольку на промежутки должна разбиваться вся числовая ось, а не только диапазон полученных в результате опыта значений), мы приходим к следующим интервальным распределениям, пригодным для непосредственного применения критерия Пирсона:

zi –1 ; zi - ¥; 6 6;9 9;12 12;15 15;18 18;21
n i 10 9 11 14 18 13
21;24 24;27 27;30 30;+∞
11 7 4 3

Вычисление теоретических частот.

Критерий Пирсона основан на сравнении эмпирических (опытных) частот с теоретическими. Эмпирические частоты nI определяются по фактическим результатам наблюдений. Теоретические частоты, обозначаемые далее , находятся с помощью равенства

= n×pi ,

где n – количество испытаний, а pi ºR(zi –1 <x<zi ) - теоретическая вероятность попадания значений случайной величины в i-й промежуток (1 £i£ 1).Теоретические вероятности вычисляются в условиях выдвинутой гипотезы о законе распределения изучаемой случайной величины.


Процедура отыскания теоретических вероятностей и частот показана в расчетной таблице: _

n = 1 0 0; а=x = 15,9 ; σ = s=7,33

i Концы промежутков Аргументы фунцкции Ф0 Значения функции Ф0 Pi = Ф0 (u i )- Ф0 (u i-1 ) ν 1 =npi
zi -1 zi

U i- 1 =

(z i-1 -x)/s

U i =

(z i -x)/s

Ф0 (u i-1 ) Ф0 (u i )

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-∞

6

9

12

15

18

21

24

27

30

6

9

12

15

18

21

24

27

30

+∞

-∞

-1,35

-0,94

-0,53

-0,12

0,29

0,70

1,11

1,51

1,92

-1,35

-0,94

-0,53

-0,12

0,29

0,70

1,11

1,51

1,92

+∞

-0,5000

-0,4115

-0,3264

-0,2019

-0,0478

0,1141

0,2580

0,3665

0,4345

0,4726

-0,4115

-0,3264

-0,2019

-0,0478

0,1141

0,2580

0,3665

0,4345

0,4726

0,5000

0,0885

0,0851

0,1245

0,1541

0,1619

0,1439

0,1085

0,0680

0,0381

0,0274

8,85

8,51

12,45

15,41

16,19

14,39

10,85

6,80

3,81

2,74

å: 1,0000 1 0 0 ,00

Статистика c2 и вычисление ее значения по опытным данным.

Для того чтобы принять или отвергнуть гипотезу о законе распределения изучаемой случайной величины, в каждом из критериев согласия рассматривается некоторая (специальным образом подбираемая) величина, характеризующая степень расхождения теоретического (предполагаемого) и статистического распределения.

В критерии Пирсона в качестве такой меры расхождения используется величина

,

называемая статистикой «хи - квадрат» или статистикой Пирсона (вообще, статистикой называют любую функцию от результатов наблюдений). Ясно, что всегда c2 ³0, причем c2 = 0, тогда и только тогда, когда при каждом i , т.е. когда все соответствующие эмпирические и теоретические частоты совпадают. Во всех остальных случаях c2 ¹0; при этом значение c2 тем больше, чем больше различаются эмпирические и теоретические частоты.

Прежде чем рассказать о применении статистики c2 к проверке гипотезы о закон е распределения , вычислим ее значение для данного варианта; это значение, найденное по данным наблюдений и в рамках выдвинутой гипотезы, будем обозначать через c2 набл. .

i n i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

10

9

11

14

18

13

11

7

4

3

8,85

8,51

12,45

15,41

16,19

14,39

10,85

6,8

3,81

2,74

0,15

0,03

0,17

0,13

0,20

0,13

0,00

0,01

0,01

0,02

: 100 100 0,85

c 2 набл. = 0,85

5.4. Распределение статистики c2 .

Случайная величина имеет c2распределение с r степенями свободы (r = 1; 2; 3; …), если ее плотность имеет вид

где cr – которая положительная постоянная ( cr определяется из равенства ). Случайная величина, имеющая распределение c2 с r степенями свободы, будет обозначаться .

Для дальнейшего изложения важно лишь отметить, что, во – первых, распределение определяется одним параметром – числом r степеней свободы и, во – вторых, существуют таблицы, позволяющие произвольно найти вероятность попадания значений случайной величины в любой промежуток.

Вернемся теперь к статистике . Отметим, что она является случайной величиной, поскольку зависит от результатов наблюдений и, следовательно, в различных сериях опытов принимает различные, заранее не известные значения. Понятно, кроме того, закон распределения статистики зависит: 1) от действительного (но неизвестного нам) закона распределения случайной величины, измерения которой осуществляются (им определяются эмпирические частоты ) ; 2) от количества произведенных наблюдений (от числа n) и от способа разбиения числовой оси на промежутки (в частности, от числа i ); 3) от теоретического (выдвинутого в качестве гипотезы) закона распределения изучаемой случайной величины (им определяются теоретические вероятности pi и теоретические частоты = n×pi )

Если выдвинутая гипотеза верна, то очевидно, закон распределения статистики зависти только от закона распределения изучаемой случайной величины, от числа n и от выбора промежутков разбиения. Но на самом же деле, в этом случае (благодаря мастерски подобранному Пирсоном выражению для ) справедливо куда более серьезное утверждение. А именно, при достаточно больших n закон распределения статистики практически не зависит от закона распределения изучаемой случайной величины и ни от количества n произведенных опытов: при распределение статистики стремится к - распределению с r степенями свободы. Эта теорема объясняет, почему статистика Пирсона обозначается через .

Если в качестве предполагаемого выбрано одно их трех основных непрерывных распределений (нормальное, показательное или равномерное), то r = i – 3, где i – количество промежутков, на которые разбита числовая ось (количество групп опытных данных). В общем случае

где - количество параметров предполагаемого (теоретического) распределения, которые заменены вычисленными по опытным данным оценками.

Т.е. в данном варианте после группировки исходных данных получаем количество промежутков разбиения i = 10, = 2, т.к. количество параметров предполагаемого (теоретического) распределения, которые заменены вычисленными по опытным данным оценками, = 2 – это а и s для нормального распределения.

Следовательно

R=i-Nпар -1=10-2-1=7

5.5. Правило проверки гипотезы о законе распределения случайной величины.

Ранее отмечалось (и этот факт очевиден), что статистика принимает только не отрицательные значения (всегда c2 ³0), причем в нуль она обращается в одном – единственном случае – при совпадении всех соответствующих эмпирических и теоретических частот (т.е. при для каждого i).

Если выдвинутая гипотеза о законе распределения изучаемой случайной величины соответствует действительности, то эмпирические и теоретические частоты должны быть примерно одинаковы, а значит, значения статистики будут группироваться около нуля. Если же выдвинутая гипотеза ложна, то эмпирические и соответствующие теоретические частоты будут существенно разниться, что приведет к достаточно большим отклонениям от нуля значений .

Поэтому хотелось бы найти тот рубеж – называемый критическим значением (или критической точкой) и обозначаемый через , который разбил бы всю область возможных значений статистики на два непересекающихся подмножества: область принятия гипотезы, характеризующаяся неравенством , и критическую область (или область отвержения гипотезы), определяемую неравенством .

Область принятия Критическая область

гипотезы


0

Как же найти критическое значение ?

Если выдвинутая гипотеза о законе распределения изучаемой случайной величины верна, то вероятность попадания значений статистики в критическую область должна быть мала, так что событие {} должно быть практически неосуществимым в единичном испытании. Эта вероятность, обозначим ее через :

называется уровнем значимости.

Чтобы определить критическое значение , поступим следующим образом. Зададим какое – либо малое значение уровня значимости (как правило = 0,05 или = 0,01) и найдем как уровень уравнения

с неизвестной x. Поскольку распределение статистики близко при к - распределению с r степенями свободы, то

и приближенное значение можно найти из уравнения

Геометрические соображения показывают, что последнее уравнение имеет единственное решение: его корень – это такое число x>0, при котором площадь под графиком функции (плотности- распределения) над участком равна. На практике решение последнего уравнения находят с помощью специальных таблиц, имеющихся в любом руководстве по математической статистике; эти таблицы позволяют по двум входным параметрам – уровню значимости и числу степеней свободы r определить критическое значение . (Находимое таким образом критическое значение зависит, конечно, от и r,что при необходимости отражают и в обозначениях: ).

Зададим уровень значимости как = 0,05 (условие курсовой работы) .

Подводя итоги, сформулируем правило проверки гипотезы о законе распределения случайной величины с помощью - критерия Пирсона:

1) Проводят n независимых наблюдений случайной величины (принято считать, что должно быть n³ 100).

2) Разбивают всю числовую ось на несколько (как правило, на 8…12) промежутков

так, чтобы количество измерений в каждом из них (называемое эмпирической

частотой ) оказалось не менее пяти (т.е. ³ 5 при каждом i).

3) Выдвигают (например, судя по профилю гистограммы) гипотезу о законе распределения изучаемой случайной величины и находят параметры этого закона (чаще всего, заменяя математическое ожидание и дисперсию их оценками).

4) С помощью предполагаемого (теоретического) распределения находят теоретические вероятности pi и теоретические частоты = n×pi попадания значений случайной величины в i-й промежуток.

5) По эмпирическим и теоретическим частотам вычисляют значения статистики , обозначаемое через c2 набл. .

6) Определяют число r степеней свободы.

7) Используя заданное значение уровня значимости и найденное число степеней свободы r, по таблице находят (на пересечении строки, отвечающей r, и столбца, отвечающего ) критическое значение .

8) Формулируя вывод, опираясь на основной принцип проверки статистических гипотез :

если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, т.е. если , то гипотезу отвергают как плохо согласующуюся с результатами эксперимента;

если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, т.е. , то гипотезу принимают как не противоречащую результатам эксперимента.

5.6. Вывод о соответствии выдвинутой гипотезы и опытных данных в варианте.

Правило проверки выдвинутой гипотезы о законе распределения изучаемой случайной величины для данного варианта реализовано в таблице:

Название величины Обозначение и числовое значение величины
Уровень значимости (задан в условии) = 0,05
Количество промежутков разбиения l =10
Число степеней свободы r=7
Критическое значение (находится по таблице) =
Наблюдаемое значение критерия

c2 набл. = 0,85

ВЫВОД Гипотеза не принимается для данного 9 варианта, поскольку : 83,5 << 15,51

Замечания: 1. Заданное значение уровня значимости = 0,05 означает, что

,

т.е. вероятность события {} очень мала. Однако это событие, обладая ненулевой вероятностью, и тогда (при = 0,05 примерно в 5% случаев) будет отвергнута правильная гипотеза. Отвержение гипотезы, когда она верна, называется ошибкой первого рода. Таким образом, уровень значимости - это вероятность ошибки первого рода. Отметим, что ошибкой второго рода называется принятие гипотезы в случае, когда она неверна.

2. Иногда вместо уровня значимости задается надежность :

т.е. - это вероятность попадания значений статистики в область принятия гипотезы. Поскольку события

{} и

противоположны, то