Скачать .docx  

Реферат: Экономико–математические методы в управлении

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ ИММАНУИЛА КАНТА

кафедра экономики

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Экономико – математические методы в управлении»

вариант №30

КАЛИНИНГРАД

2008


Задание

Задание 1.2.

Смесь можно составить из n продуктов Сj (j=1,n). В каждом из продуктов содержится m компонентов. Минимально допустимый объем содержания i-го компонента в смеси выражается величиной bi (i=1,3). Содержание i-го компонента в единице j-го продукта выражается величиной аij . Цена единицы j-го продукта равна сj . Составить смесь, минимальную по стоимости, выбрав для решения данной задачи наиболее рациональный способ.

C1

C2

C3

bi

cj

9

6

7

a1j

7

5

8

70

a2j

8

2

3

40

a3j

9

6

7

50

Задание 2.2.

Найти графоаналитическим методом оптимальное решение задачи нелинейного программирования.

maxZ = 3.6x1 – 0.2x1 2 + 0.8x2 – 0.2x2 2

2x1 + x2 ≥ 10

x1 2 -10x1 + x2 ≤ 75

x2 ≥ 0

Задание 3.1.

После нескольких лет эксплуатации оборудование может оказаться в одном из трех состояний:

1) требуется профилактический ремонт;

2) требуется замена отдельных деталей и узлов;

3) требуется капитальный ремонт.

В зависимости от ситуации руководство предприятия может принять следующие решения:

1) отремонтировать оборудование своими силами, что потребует затрат а ;

2) вызвать специальную бригаду ремонтников, расходы в этом случае составят b ;

3) заменить оборудование новым, реализовав устаревшее по остаточной стоимости.. Совокупные затраты на это мероприятие составят с .

Требуется найти оптимально решение данной проблемы по критерию минимизации затрат с учетом следующих предположений:

а) на основе обобщения опыта эксплуатации аналогичного оборудования определены вероятности наступления соответствующих состояний – q ;

б) имеющийся опыт свидетельствует о равной вероятности наступления соответствующих состояний;

в) о вероятностях наступления соответствующих состояний ничего определенного сказать нельзя.

П1

П2

П3

a

13

9

15

b

20

12

11

c

18

10

14

q

0.3

0.45

0.25

λ = 0.7

Задание 1.2.

Смесь можно составить из n продуктов Сj (j=1,n). В каждом из продуктов содержится m компонентов. Минимально допустимый объем содержания i-го компонента в смеси выражается величиной bi (i=1,3). Содержание i-го компонента в единице j-го продукта выражается величиной аij . Цена единицы j-го продукта равна сj . Составить смесь, минимальную по стоимости, выбрав для решения данной задачи наиболее рациональный способ.

C1

C2

C3

bi

cj

9

6

7

a1j

7

5

8

70

a2j

8

2

3

40

a3j

9

6

7

50

Смесь, минимальная по стоимости:

7x1 + 5x2 + 8x3 ≥ 70

8x1 + 2x2 + 3x3 ≥ 40

9x1 + 6x2 + 7x3 ≥ 50

x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0

F = 9x1 + 6x2 + 7x3 → min

После транспонирования матрицы элементов aij , cсимметричная двойственная задача будет иметь вид:

S(y1 ,y2 ,y3 ) = 70y1 + 40y2 + 50y3 → max , при ограничениях:

7y1 + 8y2 + 9y3 ≥ 9

5y1 + 2y2 + 6y3 ≥ 6

8y1 + 3y2 + 7y3 ≥ 7

y1 ≥ 0; y2 ≥ 0; y3 ≥ 0

Для решения двойственной задачи линейного программирования симплекс – методом, приведём систему неравенств к виду системы уравнений:

7y1 + 8y2 + 9y3 + y4 ≥ 9

5y1 + 2y2 + 6y3 + y5 ≥ 6

8y1 + 3y2 + 7y3 + y6 ≥ 7

y1 ≥0;y2 ≥0;y3 ≥0;y1 ≥0;y2 ≥0;y3 ≥0

S(y1 ,y2 ,y3 ) = 70y1 + 40y2 + 50y3 → max

По правилу соответствия переменных, базисным переменным прямой задачи соответствуют свободные переменные двойственной задачи:

x1 x2 x3 x4 x5 x6

y1 y2 y3 y4 y5 y6

Первая симплексная таблица:

Базис

Сб

А0

y1

70

y2

40

y3

50

y4

0

y5

0

y6

0

y4

0

9

7

8

9

1

0

0

y5

0

6

5

2

6

0

1

0

y6

0

7

8

3

7

0

0

1

0

-70

-40

-50

0

0

0

Вторая симплексная таблица:

Базис

Сб

А0

y1

70

y2

40

y3

50

y4

0

y5

0

y6

0

y4

0

23/8

0

43/8

23/8

1

0

-7/8

y5

0

13/8

0

1/8

13/8

0

1

-5/8

y1

70

7/8

1

3/8

7/8

0

0

1/8

245/4

0

-55/4

45/4

0

0

35/4

Третья симплексная таблица:

Базис

Сб

А0

y1

70

y2

40

y3

50

y4

0

y5

0

y6

0

Y2

40

23/43

0

1

23/43

8/43

0

-7/43

y5

0

67/43

0

0

67/43

-1/43

1

-26/43

y1

70

29/43

1

0

29/43

-3/43

0

8/43

2950/43

0

0

800/43

110/43

0

280/43

В последней таблице в строке Δ нет отрицательных элементов. В соответствии с критерием оптимальности точка максимума Smax = 2950/43 достигнута при значениях: y1 = 29/43; y2 = 23/43; y3 = 0.

По теореме двойственности: Fmin = Smax = 2950/43.

На основании правила соответствия между переменными, оптимальное решение прямой задачи:

y4 x1 = 110/43 y5 x2 = 0 y6 x3 = 280/43

Ответ: В смесь минимальной стоимости 2950/43 целесообразно включить 110/43 единиц продукта C1 , 280/43 единиц продукта C3 , а продукт C2 не включать.

Задание 2.2.

Найти графоаналитическим методом оптимальное решение задачи нелинейного программирования.

maxZ = 3.6x1 – 0.2x1 2 + 0.8x2 – 0.2x2 2

2x1 + x2 ≥ 10

x1 2 -10x1 + x2 ≤ 75

x2 ≥ 0

В данной задаче имеется нелинейная целевая функция с нелинейной системой ограничений. Графическая схема позволит определить положение точки оптимума.

Сначала необходимо преобразовать формулу целевой функции так, чтобы получить её графическое отображение. Воспользуемся методом выделения полного квадрата двучлена относительно x1 и x2 , разделив левую и правую части формулы на -0.2:

-5Z = x1 2 -18x1 + x2 2 – 4x2

Добавим к левой и правой частям уравнения числа, необходимые для выделения полных квадратов двучлена в правой части выражения:

92 и 22 в сумме составляют 85:

85 – 5Z = (x1 – 9)2 + (x2 – 2)2

В результате получилась формула, позволяющая графически изобразить целевую функцию в виде линии уровня на плоскости X1 OX2 . Данные линии уровня представляют собой окружности с общим центром в точке O (9;2). Данная точка является точкой абсолютного экстремума целевой функции.

Для определения характера экстремума нужно провести анализ целевой функции на выпуклость/вогнутость. Для этого необходимо определить вторые частные производные и составить из них матрицу:


Z x1x1 Z x1x2 = -0.4 0

Z x2x1 Z x2x2 0 -0.4

Определим знаки главных миноров данной матрицы.

Главный минор первого порядка -0.4 < 0.

Главный минор второго порядка 0.16 > 0.

Т.к. знаки миноров чередуются, функция Z - строго вогнута. Экстремум вогнутых функций – max, следовательно в точке О у целевой функции находится абсолютный максимум.

Для построения области допустимых значений преобразуем второе неравенство системы ограничений:

x1 2 – 10x1 + x2 ≤ 75

x1 2 – 10x1 + 25 + x2 ≤ 100

(x1 – 5)2 + x2 ≤ 100

(x1 – 5)2 ≤ 100 – x2

Уравнение (x1 – 5)2 = 100 – x2 выразим через переменные x1 * и x2 * :

x1 * = x1 – 5

x2 * = 100 – x2

Уравнение примет вид: x1 *2 = x2 * .

В системе координат X1 * O* X2 * данное уравнение является каноническим уравнением параболы.



На рисунке область допустимых значений – ограниченная часть плоскости ABCD. Из полученного графика видно, что точка абсолютного максимума Z лежит внутри ОДР. Следовательно, целевая функция принимает максимальное значение в этой точке:

max Z = Z(O) = Z(9;2) = 17

Задание 3.1

После нескольких лет эксплуатации оборудование может оказаться в одном из трех состояний:

1) требуется профилактический ремонт;

2) требуется замена отдельных деталей и узлов;

3) требуется капитальный ремонт.

В зависимости от ситуации руководство предприятия может принять следующие решения:

1) отремонтировать оборудование своими силами, что потребует затрат а ;

2) вызвать специальную бригаду ремонтников, расходы в этом случае составят b ;

3) заменить оборудование новым, реализовав устаревшее по остаточной стоимости.. Совокупные затраты на это мероприятие составят с .

Требуется найти оптимально решение данной проблемы по критерию минимизации затрат с учетом следующих предположений:

а) на основе обобщения опыта эксплуатации аналогичного оборудования определены вероятности наступления соответствующих состояний – q ;

б) имеющийся опыт свидетельствует о равной вероятности наступления соответствующих состояний;

в) о вероятностях наступления соответствующих состояний ничего определенного сказать нельзя.

П1

П2

П3

a

13

9

15

b

20

12

11

c

18

10

14

q

0.3

0.45

0.25

λ = 0.7

Составим платёжную матрицу, в которой Пj – состояния оборудования, Аi – альтернативы принятия решений:

П1

П2

П3

А1

-13

-9

-15

А2

-20

-12

-11

А3

-18

-10

-14

Для принятия оптимального решения в случае а). воспользуемся критерием Байеса; в случае б). критерием Лапласа; в случае в). критериями Вальда, Сэвиджа, Гурвица.

а). на основе обобщения опыта эксплуатации аналогичного оборудования определены вероятности наступления соответствующих состояний: q1 = 0.3; q 2 = 0.45; q 3 = 0.25

Критерий Байеса.

Для каждой альтернативы найдём средний выигрыш: ` ai = ∑ aij × qj

`a1 = -11.7 `a2 = -14.15 `a3 = -13.4

П1

П2

П3

`ai

А1

-13

-9

-15

-11.7

А2

-20

-12

-11

-14.15

А3

-18

-10

-14

-13.4

qj

0.3

0.45

0.25

Из средних выигрышей выбираем максимальный: max ai = ` a 1 = -11.7 – первая альтернатива оптимальна в случае известных вероятностей наступления событий при выборе решения по критерию Байеса.

б). имеющийся опыт свидетельствует о равной вероятности наступления соответствующих состояний;

Критерий Лапласа.

Для каждой альтернативы найдём средний выигрыш: ` ai = 1/3∑ aij

`a1 = -12.3 `a2 = -14.3 `a3 = -14

П1

П2

П3

`ai

А1

-13

-9

-15

-12.3

А2

-20

-12

-11

-14.3

А3

-18

-10

-14

-14

Из средних выигрышей выбираем максимальный: max ai = ` a 1 = -12.3 – первая альтернатива оптимальна в случае равной вероятности наступления событий при выборе решения по критерию Лапласа.

в). о вероятностях наступления соответствующих состояний ничего определенного сказать нельзя.

Критерий Вальда.

Для каждой альтернативы определим наихудший исход. di – минимальный элемент строки. Из наихудших исходов выбираем наилучший, т.е. максимальный di .

П1

П2

П3

di

А1

-13

-9

-15

-15

А2

-20

-12

-11

-20

А3

-18

-10

-14

-18

max di = d 1 = -15 – первая альтернатива оптимальна по критерию Вальда.

Критерий Сэвиджа.

Для каждого столбца находим максимальный элемент βj .

П1

П2

П3

А1

-13

-9

-15

А2

-20

-12

-11

А3

-18

-10

-14

βj

-13

-9

-11

Построим матрицу рисков, элементы которой: rij = βj - aij

max ri

0

0

4

4

7

3

0

7

5

1

3

5

В матрице рисков в каждой строке найдём максимальный риск, и из них выберем минимальный: min r = r 1 = 4 – первая альтернатива оптимальна по критерию Сэвиджа.

Критерий Гурвица.

Для каждой строки находим минимальный di и максимальный βj .

П1

П2

П3

di

βj

χi

А1

-13

-9

-15

-15

-9

-13.2

А2

-20

-12

-11

-20

-11

-17.3

А3

-18

-10

-14

-18

-10

-15.6

χ i = λ × di + (1 – λ) × βj λ = 0.7

Максимальный из элементов последнего столбца: max χ i = χ1 = -13.2 – первая альтернатива оптимальна по критерию Гурвица.