Скачать .docx  

Реферат: Основная задача механики

Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя, начальное положение системы показано на рис. 1. Учитывая сопротивление качению тела 3 , катящегося без скольжения, пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить скорость тела 1 в тот момент времени, когда пройденный путь станет равным s .

В задании приняты следующие обозначения: m1 , m2 , m3, m4 – массы тел 1, 2, 3, 4; R3 – радиус большой окружности; δ – коэффициент трения качения.

Необходимые для решения данные приведены в таблице 1. Блоки и катки считать сплошными однородными цилиндрами. Наклонные участки нитей параллельны соответствующим наклонным плоскостям.

Таблица 1.

m 1 , кг m 2 , кг m 3 , кг m4 , кг R 3 δ , см s , м
m 1/2m 5m 4m 25 0,20 2

Решение

Применим теорему об изменении кинетической энергии системы:

(1)

где T0 и T – кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях; - сумма работ внешних сил, приложенных к системе; - сумма работ внутренних сил системы.

Для рассматриваемых систем, состоящих из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями,


Так как в начальном положении система находится в покое, то Т0 =0.

Следовательно, уравнение (1) принимает вид:

(2)

Кинетическая энергия рассматриваемой системы Т в конечном ее положении (рис.2) равна сумме кинетических энергий тел 1 , 2 , 3 и 4 :

Т = Т1 + Т2 + 4Т3 + Т4 . (3)

Кинетическая энергия груза 1 , движущегося поступательно,

(4)

Кинетическая энергия барабана 2 , совершающего вращательное движение,

, (5)

где J2 x – момент инерции барабана 2 относительно центральной продольной оси:

, (6)

w2 – угловая скорость барабана 2 :


.(7)

После подстановки (6) и (7) в (5) выражение кинетической энергии барабана 2 принимает вид:

. (8)

Кинетическая энергия колеса 3 , совершающего плоскопараллельное движение:

, (9)

где VC 3 – скорость центра тяжести С3 барабана 3 , J3 x – момент инерции барабана 3 относительно центральной продольной оси:

, (10)

w3 – угловая скорость барабана 3 .

Мгновенный центр скоростей находится в точке СV . Поэтому

, (11)

. (12)

Подставляя (10), (11) и (12) в (9), получим:

. (13)

Кинетическая энергия груза 4 , движущегося поступательно

. (14)

Кинетическая энергия всей механической системы определяется по формуле (3) с учетом (4), (8), (13), (15):

Подставляя и заданные значения масс в (3), имеем:

или

. (15)

Найдем сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе, на заданном ее перемещении (рис. 3).

Работа силы тяжести :

(16)

Работа силы тяжести :

(17)

Работа пары сил сопротивления качению :

(18)

где

(19)

(20)

(21)

Подставляя (19), (20) и (21) в (18), получаем:

(22)

Работа силы тяжести :

(17)

Работа силы тяжести :

(23)

Сумма работ внешних сил определится сложением работ, вычисляемых по формулам (17) – (24):

.

Подставляя заданные значения, получаем:

Или

. (24)

Согласно теореме (2) приравняем значения Т и , определяемые по формулам (16) и (24):

,

откуда выводим

м/с.

Дано:

R2 =30; r2 =20; R3 =40; r3 =40

X=C2 t2 +C1 t+C0

При t=0 x0 =7 =0

t2 =2 x2 =557 см

X0 =2C2 t+C1

C0 =7

C1 =0

557=C2 *52 +0*5+7

25C2 =557-7=550

C2 =22

X=22t2 +0t+7

=V=22t

a==22

V=r2 2

R2 2 =R3 3

3 =V*R2 /(r2 *R3) =(22t)*30/20*40=0,825t

3 =3 =0,825

Vm =r3 *3 =40*(0,825t)=33t

at m =r3

=0,825t

at m =R3 =40*0,825t=33t

an m =R3 2 3 =40*(0,825t)2 =40*(0,825(t)2

a=

***********************************

Дано :R2 =15; r2 =10; R3 =15; r3 =15

X=C2 t2 +C1 t+C0

При t=0 x0 =6 =3

t2 =2 x2 =80 см

X0 =2C2 t+C1

C0 =10

C1 =7

80=C2 *22 +3*2+6

4C2 =80-6-6=68

C2 =17

X=17t2 +3t+6

=V=34t+3

a==34

V=r2 2

R2 2 =R3 3

3 =V*R2 /(r2 *R3) =(34t+3)*15/10*15=3,4t+0,3

3 =3 =3,4

Vm =r3 *3 =15*(3,4t+0,3)=51t+4,5

at m =r3

=3,4t

at m =R3 =15*3,4t=51t

an m =R3 2 3 =15*(3,4t+0,3)2 =15*(3,4(t+0,08)2

a=

Решение второй задачи механики

Дано:

m=4.5 кг; V0 =24 м/с;

R=0.5V H;

t1 =3 c;

f=0.2;

Q=9 H; Fx =3sin(2t) H.

Определить: x = f(t) – закон движения груза на участке ВС

Решение:

1) Рассмотрим движение на промежутке АВ

учитывая, что R=0.5VH;


Разделяем переменные и интегрируем

2) Рассмотрим движение на промежутке ВС (V0 =VB )


Дано:

m =36 кг

R =6 см=0,06 м

H =42 см=0,42 м

yC =1 см=0,01 м

z С =25 см=0,25 м

АВ=52 см=0,52

М=0,8 Н·м

t 1 =5 с

Найти реакции в опорах А и В .

Решение

Для решения задачи используем систему уравнений, вытекающую из принципа Даламбера:

(1)

Для определения углового ускорения ε из последнего уравнения системы (1) найдем момент инерции тела относительно оси вращения z по формуле

, (2)

где Jz 1 − момент инерции тела относительно центральной оси С z 1 , параллельной оси z ; d – расстояние между осями z и z 1 .

Воспользуемся формулой

, (3)

где α , b , g - углы, составленные осью z 1 с осями x , h , z соответственно.

Так как α=90º , то

. (4)

Определим моменты инерции тела , как однородного сплошного цилиндра относительно двух осей симметрии h , z

;

.

Вычисляем

;

.

Определяем угол g из соотношения

;

;

.

Угол b равен

;

.

По формуле (4), вычисляем

.

Момент инерции тела относительно оси вращения z вычисляем по формуле (2):

,

где d = yC ;

.

Из последнего уравнения системы (1)


;

.

Угловая скорость при равноускоренном вращении тела

,

поэтому при ω0 =0 и t = t 1 =5 c

.

Для определения реакций опор следует определить центробежные моменты инерции и тела. , так как ось х , перпендикулярная плоскости материальной симметрии тела, является главной осью инерции в точке А .

Центробежный момент инерции тела определим по формуле

,

где , т.е.

.


Тогда

.

Подставляя известные величины в систему уравнений (1), получаем следующие равенства

Отсюда

Ответ: , , , .

Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения

Задание: по заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t = t1 (с) найти положение точки на траектории, ее скорость, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Исходные данные:

x=5cos(pt2 /3); y= -5sin(pt2 /3); (1)

t1=1 (x и y – в см, t и t1 – в с).

Решение:

Уравнения движения (1) можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки. Получим уравнения траектории в координатной форме.

x2 + y2 = (5cos(pt2 /3))2 + (-5sin(pt2 /3))2 ;

Получаем x2 + y2 = 25, т. е. траекторией точки является окружность, показанная на рис. 1.

Вектор скорости точки

(2)


Вектор ускорения точки

Здесь Vx , Vy , ax , ay – проекции скорости и ускорения точки на соответствующие оси координат.

Найдем их, дифференцируя по времени уравнения движения (1)

(3)

По найденным проекциям определяем модуль скорости:

V=Ö(Vx 2 + Vy 2 ); (4)

и модуль ускорения точки:

а =Ö(ах 2у 2 ). (5)

Модуль касательного ускорения точки

аt =|dV/dt|, (6)

аt = |(Vx ax +Vy ay )/V| (6’)

Знак “+” при dV/dt означает, что движение точки ускоренное, знак “ - “ - что движение замедленное.

Модуль нормального ускорения точки

ап = V2 /p; (7)

p – радиус кривизны траектории.

Модуль нормального ускорения точки можно найти и следующим образом:

an =Ö(а2 -at 2 ); (8)

После того как найдено нормальное ускорение по формуле (8), радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения:

p=V2 / an . (9)

Результаты вычислений по формулам (3)-(6), (8), (9) для момента времени t1=1с приведены ниже в таблице

Координаты

см

Скорость

см/с

Ускорение, см/с2

Радиус

см

х у Vx Vy V ax ay a at an p
2.5 -2.5Ö3 -5p/Ö3 -5p/3 10p/3 -20.04 13.76 24.3 10.5 21.9 5

Ниже на рисунке показано положение точки М в заданный момент времени.


Дополнительное задание:

z=1.5tx=5cos(pt2 /3); y= -5sin(pt2 /3); t1=1 (x и y – в см, t и t1 – в с).

Найдем скорости и ускорения дифференцируя по времени уравнения движения


По найденным проекциям определяем модуль скорости:

V=Ö(Vx 2 + Vy 2 +Vz 2 );

и модуль ускорения точки:

а =Ö(ах 2у 2 + аz 2 ).

V=;

a=24.3 см/с;

Касательное ускорение точки

аt = |(Vx ax +Vy ay + Vz az )/V|

at =(-9.069*(-20.04)+(-5.24)*13.76+1.5*0)/10.58=10.36 см/с

Модуль нормального ускорения точки можно найти и следующим образом:

an =Ö(а2 -at 2 );

an =21.98 см/с2 .

Радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения:

p=V2 / an . р=5.1 см

Результаты вычислений для момента времени t1=1с приведены ниже в таблице



Координаты

см

Скорость

см/с

Ускорение, см/с2

Радиус

см

x y z Vx Vy Vz V ax ay az a at an p
2.5 -4.33 1.5 -9.07 -5.24 1.5 10.58 -20.04 13.76 0 24.3 10,36 21.98 5.1

Задание: точка М движется относительно тела D. По заданным уравнениям относительного движения точки М и движения тела D определить для момента времени t=t1 абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М.

Дано:

ОМ=Sr=120pt2 см;

jе =8t2 – 3t рад ;

t1=1/3 c; R=40 см.

Решение:

1) Положение точки М на теле D определяется расстоянием Sr =ОМ

при t=1/3 cSr =120p/9=41.89 см.

При t=1/3с Vr =80p=251.33 см/с.

ar t =d2 Sr /dt2 ar t =240p=753.98 см/с2

ar n =Vr 2 /R ar n =(80p)2 /40=1579.14 см/с2

2) Ve =we r , где r- радиус окружности, описываемой той точкой тела, с которой в данный момент совпадает точка М.

a=OM/R. r=R*sina=40*sin(p/3)=34.64 см.

wе =dje /dt=16t-3 при t=1/3 wе =7/3=2.33 с-1

Ve =80.83 см/с.

ае ц =we 2 r ае ц =188.6 см/с2 .

ае в =eе reе = d2 je /dt2 =16 с-2 ае в =554.24 см/с2 .

3)

ас =2*wе Vr sin(wе , Vr ) sin(wе , Vr )=90-a=p/6 ac =585.60 см/с2

4)

V=Ö(Ve 2 +Vr 2 ) V=264.01 см/с

Модуль абсолютного ускорения находим методом проекций.

ax =aе вс

ay =arn cos(p/3)+ar t cos(p/6)

az =-ае ц - arn cos(p/6)+ar t cos(p/3)

а=Ö(ax 2 +ay 2 +az 2 )

Результаты расчетов сведены в таблицу

w e ,

c-1

Скорость см/с

e е

с-2

Ускорение , см/с2
Ve Vr V ае ц a е в arn аr t ас ax ay az а
2.33 80.8 251.3 264 16 188.6 554 1579 754 586 1140 1143 -1179 1999

Определение реакций опор твердого тела

Дано :

Q=10 kH;

G=5 kH;

a=40 см; b=30 см; c=20 см;

R=25 см; r=15 см.

Задание:

Найти реакции опор конструкции.

Решение:

Для определения неизвестных реакций составим уравнения равновесия.

Из уравнения (4) определяем P, а затем находим остальные реакции опор. Результаты вычислений сведем в таблицу.

Силы, кН

Р ХА ZA XB ZB
5.15 -0.17 2.08 -3.34 2.92

Проверка.

Составим уравнения относительно точки В.