Скачать .docx  

Реферат: Трехфазные цепи

3.11 Трехфазные цепи.

Трехфазные цепи являются частным случаем многофазных систем , под которыми понимают совокупность нескольких нагрузок и источников питания, имеющих одинаковую частоту и смещенных по фазе на некоторый угол друг относительно друга . Каждая пара источник-нагрузка может рассматриваться как отдельная цепь и называется фазой системы .

Если отдельные фазы системы не соединены между собой электрически (рис. 1 а)), то такую систему называют несвязанной . Несвязанная система не обладает никакими особыми свойствами, и если между фазами отсутствует и магнитная связь, то такая совокупность цепей вообще не может рассматриваться как многофазная.

Соединение фаз системы между собой (рис. 1б)) придает ей особые качества, благодаря которым многофазные системы ( в особенности трехфазные) получили исключительное распространение в области передачи и преобразования электрической энергии. Одним из очевидных преимуществ связанной системы (рис. 1) является сокращение с шести до четырех числа проводников, соединяющих источники с нагрузкой. При благоприятных обстоятельствах это число может быть уменьшено до трех. В дальнейшем мы отметим целый ряд других преимуществ, которым обладают связанные системы.

Любая многофазная система может быть симметричной и несимметричной. Симметрия системы определяется симметрией ЭДС, напряжений и токов. Под симметричной многофазной системой ЭДС, напряжений или токов понимают совокупность соответствующих величин, имеющих одинаковые амплитуды и смещенных по фазе на угол 2 p /m по отношению друг к другу, где m - число фаз системы . Если для обозначения фаз трехфазной системы использовать первые буквы латинского алфавита, то симметричную систему ЭДС можно записать в виде

Û (1)

Аналогичные выражения можно написать и для токов и падений напряжения в симметричной трехфазной системе.

Основное свойство симметричных многофазных систем заключается в том, что сумма мгновенных значений величин образующих систему в каждый момент времени равна нулю . Для изображений величин образующих систему это свойство означает равенство нулю суммы фазных векторов . В справедливости этого утверждения легко убедиться на примере трехфазной системы, если в области изображений сложить числа в скобках в правой части выражений (1).

Многофазная система симметрична только тогда, когда в ней симметричны ЭДС, токи и напряжения. Если принять равными нулю внутренние сопротивления источников питания или включить их значения в сопротивления нагрузки, то условие симметрии системы сводится к симметрии ЭДС и равенству комплексных сопротивлений нагрузки. Это условие для трехфазной системы записывается в виде

Z a = Z b = Z c . (2)

В дальнейшем мы будем считать, что источники питания являются источниками ЭДС и использовать условия симметрии системы в виде выражений (1) и (2).

В многофазные системы объединяют источники ЭДС и нагрузки. Для обеспечения правильного соотношения сдвига фаз при соединения или связывании системы в общем случае необходимо определить выводы элементов, по отношению к которым выполняются условия (1). Они называются начало и конец фазы источника или нагрузки. Для источников многофазной системы принято за положительное направление действия ЭДС от начала к концу.

На электрических схемах, если это необходимо, начало и конец обозначают буквами латинского алфавита. На рис. 1 а) начала элементов соответствуют индексам XYZ , а концы - ABC . В дальнейшем мы будем использовать строчные буквы для нагрузки, а прописные для источников ЭДС.

Существуют два способа связывания элементов в многофазную систему - соединение звездой и соединение многоугольником. Звезда это такое соединение, в котором начала всех элементов объединены в один узел, называемый нейтральной точкой . Подключение к системе при этом осуществляется концами элементов (рис. 2 а)). Многоугольник это соединение, в котором все элементы объединены в замкнутый контур так, что у соседних элементов соединены между собой начало и конец . С системой многоугольник соединяется в точках соединения элементов. Частным случаем многоугольника является треугольник рис. 2 б).

Источники питания и нагрузки в многофазных системах в общем случае могут быть связаны разными способами.

При анализе многофазных систем вводится ряд понятий, необходимых для описания процессов. Проводники, соединяющие между собой источники и нагрузку, называются линейными проводами , а проводник соединяющий нейтральные точки источников и нагрузки - нейтральным проводом .

Электродвижущие силы источников многофазной системы (eA , E A , EA , eB , E B , EB , eC , E C , EC ), напряжения на их выводах (uA , U A , UA , uB , U B , UB , uC , U C , UC ) и протекающие по ним токи (iA , I A , IA , iB , I B , IB , iC , I C , IC ) называются фазными . Напряжения между линейными проводами (U AB , UAB , U BC , Uac , U CA , UCA ) называются линейными .

Связь линейных напряжений с фазными можно установить через разность потенциалов линейных проводов рис. 1 б) как uAB = uAN + uNB = uAN -uBN = uA -uB или в символической форме

U AB = U A -U B ; U BC = U B -U C ;

U CA = U C -U A .

(3)

Построим векторную диаграмму для симметричной трехфазной системы фазных и линейных напряжений (рис. 3). В теории трехфазных цепей принято направлять вещественную ось координатной системы вертикально вверх.

Каждый из векторов линейных напряжений представляет собой сумму одинаковых по модулю векторов фазных напряжений (U ф = UA = UB =UC ), смещенных на угол 60° . Поэтому линейные напряжения также образуют симметричную систему и модули их векторов (U л = UAB = UBC =UCA ) можно определить как .

Выражения (3) справедливы как для симметричной системы, так и для несимметричной. Из них следует, что векторы линейных напряжений соединяют между собой концы фазных (вектор U CA рис. 3). Следовательно, при любых фазных напряжениях они образуют замкнутый треугольник и их сумма всегда равна нулю . Это легко подтвердить аналитически сложением выражений (3) - U AB + U BC + U CA = U A -U B + U B -U C + U C -U A = 0.

Тот факт, что геометрически векторы линейных напряжений соединяют концы векторов фазных, позволяет сделать заключение о том, что любой произвольной системе линейных напряжений соответствует бесчисленное множество фазных . Это подтверждается тем, что для создания фазной системы векторов при заданной линейной, достаточно произвольно указать на комплексной плоскости нейтральную точку и из нее провести фазные векторы в точки соединения многоугольника линейных векторов.

Из уравнений Кирхгофа для узлов a , b и c нагрузки соединенной треугольником (рис. 2 б)) можно представить комплексные линейные токи через фазные в виде

I A = I ab -I ca ; I B = I bc -I ab ; I C = I ca -I bc . (4)

В случае симметрии токов IA = IB = IC = I л и Iab = Ibc = Ica = I ф , поэтому для них будет справедливо такое же соотношение, как для линейных и фазных напряжений в симметричной системе при соединении звездой, т.е . Кроме того, их сумма в каждый момент времени будет равна нулю, что непосредственно следует из суммирования выражений (4).

Перейдем теперь к рассмотрению конкретных соединений трехфазных цепей.

Пусть фазы источника и нагрузки соединены звездой с нейтральным проводом (рис. 4а)). При таком соединении нагрузка подключена к фазам источника и U A = U a , U B = U b и U C = U c. , а I A = I a , I B = I b и I C = I c . Отсюда по закону Ома токи в фазах нагрузки равны

I a = U A /Z a ; I b = U B /Z b и

I c = U C /Z c .

(5)

Ток в нейтральном проводе можно определить по закону Кирхгофа для нейтральной точки нагрузки. Он равен

I N =I a +I b +I c . (6)

Выражения (5) и (6) справедливы всегда, но в симметричной системе Z a = Z b = Z c = Z , поэтомуI N =I a +I b +I c = U A /Z a +U B /Z b +U C /Z c = (U A +U B +U C )/Z = 0, т.к. по условию симметрии U A +U B +U C =0. Следовательно, в симметричной системе ток нейтрального провода равен нулю и сам провод может отсутствовать. В этом случае связанная трехфазная система будет передавать по трем проводам такую же мощность, как несвязанная по шести. На практике нейтральный провод в системах передачи электроэнергии сохраняют, т.к. его наличие позволяет получать у потребителя два значения напряжения - фазное и линейное (127/220 В, 220/380 В и т.д.). Однако сечение нейтрального провода обычно существенно меньше, чем у линейных проводов, т.к. по нему протекает только ток, создаваемый асимметрией системы.

При симметричной нагрузке токи во всех фазах одинаковы и смещены по отношению друг к другу на 120° . Их модули или действующие значения можно определить как I = U ф /Z .

Векторные диаграммы для симметричной и несимметричной нагрузки в системе с нейтральным проводом приведены на рис. 4 б) и в).

При отсутствии нейтрального провода сумма токов в фазах нагрузки равна нулю I a +I b +I c =0. В случае симметричной нагрузки режим работы системы не отличается от режима в системе с нейтральным проводом.

При несимметричной нагрузке между нейтральными точками источника и нагрузки возникает падение напряжения. Его можно определить по методу двух узлов, перестроив для наглядности схему рис. 5 а). В традиционном для теории электрических цепей начертании она будет иметь вид рис. 5 б). Отсюда

, (7)

где Y a =1/Z a , Y b =1/Z b , Y c =1/Z c - комплексные проводимости фаз нагрузки.

Напряжение U nN представляет собой разность потенциалов между нейтральными точками источника и нагрузки. По схеме рис. 5 б) его можно представить также через разности фазных напряжений источника и нагрузки U nN = U A -U a = U B -U b = U C -U c . Отсюда фазные напряжения нагрузки

U a = U A -U nN ; U b = U B -U nN ; U c = U C -U nN . (8)

Токи в фазах нагрузки можно определить по закону Ома

I a = U a /Z a ; I b = U b /Z b ; I c = U c /Z c . (9)

Векторные диаграммы для симметричной и несимметричной нагрузки приведены на рис. 6. Диаграммы симметричного режима (рис. 6 а)) ничем не отличаются от диаграмм в системе с нулевым проводом.

Диаграммы несимметричного режима (рис. 6 б)) иллюстрируют возможность существования множества систем фазных напряжений для любой системы линейных. Здесь системе линейных напряжений U AB U BC U CA соответствуют две системы фазных. Фазные напряжения источника U A U B U C и фазные напряжения нагрузки U a U b U c. .

В трехфазных цепях нагрузка и источник могут быть соединены по-разному. В частности нагрузка, соединенная треугольником, может быть подключена к сети, в которой источник питания соединен звездой (рис. 7 а)).

При этом фазы нагрузки оказываются подключенными на линейные напряжения

U ab = U AB ; U bc =U BC ; U ca = U CA .

Токи в фазах можно найти по закону Ома

I ab = U ab /Z ab ; I bc = U bc /Z bc ;

I ca = U ca /Z ca ,

а линейные токи из уравнений Кирхгофа для узлов треугольника нагрузки

I A = I ab -I ca ; I B = I bc -I ab ; I C = I ca -I bc . (10)

Векторы фазных токов нагрузки на диаграммах для большей наглядности принято строить относительно соответствующих фазных напряжений. На рис. 7 б) векторные диаграммы построены для случая симметричной нагрузки. Как и следовало ожидать, векторы фазных и линейных токов образуют симметричные трехфазные системы.

На рис. 7 в) построена векторная диаграмма для случая разных типов нагрузки в фазах. В фазе ab нагрузка чисто резистивная, а в фазах bc и ca индуктивная и емкостная. В соответствии с характером нагрузки, вектор I ab совпадает по направлению с вектором U ab ; вектор I bc отстает, а вектор I ca опережает на 90° соответствующие векторы напряжений. После построения векторов фазных токов можно по выражениям (10) построить векторы линейных токов I A , I B и I C .

Трехфазная цепь является совокупностью трех однофазных цепей, поэтому ее мощность может быть определена как сумма мощностей отдельных фаз.

При соединении звездой активная мощность системы будет равна

P = P a + P b + P c = U a I a cosja + U b I b cosjb + U c I c cosjc =

=I a 2 R a + I b 2 R b + I c 2 R c ,

(11)

а реактивная

Q = Q a + Q b + Q c = U a I a sinja + U b I b sinjb + U c I c sinjc =

=I a 2 X a + I b 2 X b + I c 2 X c .

(12)

Если нагрузка соединена треугольником, то активная и реактивная мощности будут равны

P = P ab + P bc + P ca = U ab I ab cosjab + U bc I bc cosjbc + U ca I ca cosjca =

=I ab 2 R ab + I bc 2 R bc + I ca 2 R ca ,

(13)

Q = Q ab + Q bc + Q ca = U ab I ab sinjab + U bc I bc sinjbc + U ca I ca sinjca =

=I ab 2 X ab + I bc 2 X bc + I ca 2 X ca .

(14)

Полную мощность можно определить из треугольника мощностей как

. (15)

Следует обратить внимание на то, что полная мощность трехфазной цепи не является суммой полных мощностей фаз .

При симметричной нагрузке мощности всех фаз одинаковы, поэтому полная мощность и ее составляющие для соединения звездой будут равны

(16)

При соединении нагрузки треугольником

(17)

Из выражений (16) и (17) следует, что полная мощность трехфазной сети и ее составляющие при симметричной нагрузке могут быть определены по линейным токам и напряжениям независимо от схемы соединения .

3.5 Мощность цепи переменного тока.

Понятие потенциала или разности потенциалов u позволяет определить работу, совершаемую электрическим полем при перемещении элементарного электрического заряда dq , как dA = udq . В то же время, электрический ток равен i = dq /dt . Отсюда dA = ui dt , следовательно, скорость совершения работы, т.е. мощность в данный момент времени или мгновенная мощность равна

, (1)

где u и i - мгновенные значения напряжения и тока.

Величины тока и напряжения, входящие в выражение (1), являются синусоидальными функциями времени, поэтому и мгновенная мощность является переменной величиной и для ее оценки используется понятие средней мощности за период. Ее можно получить, интегрируя за период T работу, совершаемую электрическим полем, а затем соотнося ее с величиной периода, т.е.

. (2)

Пусть u =U m sinwt и I m sin(wt -j ), тогда средняя мощность будет равна

(3)

т.к. интеграл второго слагаемого равен нулю. Величина cos jназывается коэффициентом мощности .

Из этого выражения следует, что средняя мощность в цепи переменного тока зависит не только от действующих значений тока I и напряжения U , но и от разности фаз j между ними. Максимальная мощность соответствует нулевому сдвигу фаз и равна произведению UI . При сдвиге фаз между током и напряжением в ± 90° средняя мощность равна нулю. Максимальные значения напряжения и тока любой электрической машины определяются ее конструкцией, а максимальная мощность, которую они могут развивать - произведением этих величин. Если электрическая цепь построена нерационально, т.е. сдвиг фаз j имеет значительную величину, то источник электрической энергии и нагрузка не могут работать на полную мощность. Поэтому в любой системе источник-нагрузка существует т.н. "проблема cos j ", которая заключается в требовании возможного приближения cosj к единице.

Выражение (3) можно представить также с помощью понятий активных составляющих тока I а и напряжения U а в виде

P = UI cosj = U (I cosj ) = UI а = I (U cosj ) = IU а . (4)

Учитывая, что активные составляющие тока и напряжения можно выразить через резистивную состаляющую комплексного сопротивления цепи как I а =U /R или U а =IR , выражение (4) можно записать также в форме

P = I 2 R = U 2 /R . (5)

Среднюю мощность P называют также активной мощностью и измеряют в ваттах [Вт].

Выделим подинтегральную функцию выражения (3)

(6)

Отсюда следует, что мгновенная мощность изменяется с двойной частотой сети относительно постоянной составляющей UI cosj равной средней или активной мощности.

При cosj = 1 (j = 0) , т.е. для цепи, обладающей чисто резистивным сопротивлением

(7)

Временные диаграммы, соответствующие этому случаю приведены на рис. 1 а).

Положительные значения мгновенной мощности соответствуют поступлению энергии от источника в электрическую цепь . Следовательно, при резистивной нагрузке вся энергия поступающая от источника преобразуется в ней в тепло .

При cosj = 0 (j = ±p /2) , т.е. для чисто реактивной цепи

(8)

Временные диаграммы, соответствующие чисто индуктивной и чисто емкостной нагрузке приведены на рис. 1 б) и г). Из выражений (8) и временных диаграмм следует, что мощность колеблется относительно оси абсцисс с двойной частотой, изменяя свой знак каждые четверть периода. Это означает, что в течение четверти периода (p > 0) энергия поступает в электрическую цепь от источника и запасается в магнитном или электрическом поле, а в течение следующей четверти (p < 0) она целиком возвращается из цепи в источник. Так как площади, ограниченные участками с положительной мощностью и с отрицательной одинаковы, то средняя мощность отдаваемая источником нагрузке равна нулю и в цепи не происходит преобразования энергии.

В общем случае произвольной нагрузки 1 > cosj > 0 ( 1< |j | < p /2) и

(8)

Как следует из временных диаграмм рис. 1 в), большую часть периода мощность потребляется нагрузкой (p > 0), но существуют также интервалы времени, когда энергия запасенная в магнитных и электрических полях нагрузки возвращается в источник. Участки с положительным значением p независимо от характера реактивной составляющей нагрузки всегда больше участков с отрицательным значением, поэтому средняя мощность P положительна. Это означает, что в электрической цепи преобладает процесс преобразования электрической энергии в тепло или механическую работу .

Рассмотрим энергетические процессы в последовательном соединении rLC (рис. 2). Падение напряжения на входе цепи уравновешивается суммой падений напряжения на элементах u =ur +uL +uC . Мгновенная мощность в цепи равна

ui =ur i +uL i +uC i (9)

Пусть напряжение и ток на входе равны u =U m sinwt и I m sin(wt -j ). Тогда падения напряжения на элементах будут ur = rI m sin(wt -j ), uL = wLI m sin(wt -j +p /2) = xL I m sin(wt -j +p /2), uC = I m sin(wt -j -p /2)/(w C) = xC I m sin(wt -j -p /2). Подставляя эти выражения в (9), получим

(10)

Уравнение (10) в левой и правой частях имеет постоянную и переменную составляющие. Постоянная составляющая представляет собой активную или среднюю мощность. Второе слагаемое в правой части это переменная составляющая активной мощности с амплитудой равной P = UI cosj . Третье слагаемое правой части также является переменной составляющей мгновенной мощности, но эта составляющая находится в квадратуре с переменной составляющей активной мощности и имеет амплитуду Q = UI sinj . Эту величину называют реактивной мощностью . Она равна среднему за четверть периода значению энергии, которой источник обменивается с магнитным и электрическим полями нагрузки. Реактивная мощность не преобразуется в тепло или другие виды энергии , т.к. ее среднее значение за период равно нулю.

Реактивную мощность также можно представить через реактивные составляющие тока или напряжения

Q = UI sinj = U (I sinj ) = UI р = I (U sinj ) = IU р . (11)

В отличие от всегда положительной активной мощности, реактивная мощность положительна при j > 0 и отрицательна при j < 0 .

Из условия равенства переменных составляющих левой и правой частей уравнения (10) можно найти связь между P , Q и S = UI в виде

(12)

Величина S называется полной или кажущейся мощностью . Из выражения (12) следует, что полную мощность можно представить гипотенузой прямоугольного треугольника с углом j , катетами которого являются активная и реактивная мощности.

Таким образом, полная мощность это максимально возможная активная мощность, т.е. мощность, выделяющаяся в чисто резистивной нагрузке (cosj = 0). Именно эта мощность указывается в паспортных данных электрических машин и аппаратов.

Реактивные составляющие токов и напряжений можно представить через активные и реактивные составляющие комплексного сопротивления, тогда для составляющих мощности

P = UI а = I 2 R = U а I = U 2 /R = U 2 G ;

Q = UI р = I 2 X = U р I = U 2 /X = U 2 B ;

S = UI = I 2 Z = U 2 /Z = U 2 Y.

(13)

Треугольник мощностей можно описать также с помощью комплексных чисел и изобразить векторами на комплексной плоскости в виде

, (14)

где S - комплексная полная мощность, - сопряженный комплексный ток.

Пользуясь представлением активной и реактивной составляющих мощности через активные и реактивные составляющие токов и напряжений (выражения (4) и (11)), треугольник мощностей можно построить в двух вариантах (рис. 3 а) и б)). В первом случае активная и реактивная составляющие полной мощности выражаются через активную и реактивную составляющие напряжения U и треугольник мощностей получается изменением масштаба треугольника напряжений (рис. 3 а)). Во втором случае (рис. 3 б)), построение выполнено с помощью активной и реактивной составляющих тока I .

Очевидно, что все виды мощности имеют одинаковую размерность, поэтому для их отличия от активной мощности, измеряемой в ваттах [Вт], для полной мощности введена единица, называемая вольт-амперы [ВА], а для реактивной мощности - вольт-амперы реактивные [ВАр]

Выражение для активной мощности P = UI cosj позволяет определить коэффициент мощности с помощью ваттметра, вольтметра и амперметра.

Для этого на вход цепи включают приборы по схеме рис. 4 и по их показаниям определяют коэффициент мощности в виде

,

где W, V и A - показания соответственно ваттметра, вольтметра и амперметра действующих значений. Из этого выражения можно также определить угол сдвига фаз j между током и напряжением на входе двухполюсника.

·Обзорные статьи

·Промо-статьи

·Презентации

·Качество электроэнергии

·Учебные пособия по электротехники для самостоятельного изучения

·Рефераты по электротехнике и радиоэлектронике

Учебное пособие по курсу электротехники
Электрические микромашины. Курс лекций
Общая Электротехника. Учебное пособие
Сборник лекций по теоретическим основам электротехники

Карта сайта