Скачать .docx Скачать .pdf

Реферат: Математическая статистика

1-я контрольная работа

Задача № 1.33

Вычислить центральный момент третьего порядка (m3 ) по данным таблицы:

Производитель­ность труда, м/час 80.5 – 81.5 81.5 – 82.5 82.5 – 83.5 83.5 – 84.5 84.5 – 85.5
Число рабочих 7 13 15 11 4
Производитель­ность труда, м/час XI Число рабочих, mi mi xi (xi -xср )3 (xi -xср )3 mi
80.5 – 81.5 81 7 567 -6,2295 -43,6065
81.5 – 82.5 82 13 1066 -0,5927 -7,70515
82.5 – 83.5 83 15 1245 0,004096 0,06144
83.5 – 84.5 84 11 924 1,560896 17,16986
84.5 – 85.5 85 4 340 10,0777 40,31078

Итого:
50 4142 6,2304


Ответ: m3 =0,1246

Задача № 2.45

Во время контрольного взвешивания пачек чая установлено, средний вес у n =200 пачек чая равен =26 гр. А S= 1гр. В предложение о нормальном распределение определить у какого количества пачек чая ве будет находится в пределах от ( до .

Р(25<x<27)=P=2Ф(1)-1=0,3634

m=n*p=200*0,3634 » 73

Ответ: n=73

Задача № 3.17

На контрольных испытаниях n=17 было определено =3000 ч . Считая, что срок службы ламп распределен нормально с =21 ч.., определить ширину доверительного интервала для генеральной средней с надежностью =0,98

Ответ: [2988<<3012]

Задача № 3.69

По данным контрольных испытания n =9 ламп были получены оценки =360 и S= 26 ч. Считая, что сроки служб ламп распределены нормально определить нижнюю границу доверительного интервала для генеральной средней с надежностью

Ответ:358

Задача № 3.71

По результатам n=7 измерений средняя высота сальниковой камеры равна =40 мм, а S=1,8 мм. В предложение о нормальном распределение определить вероятность того, что генеральная средняя будет внутри интервала .

Ответ: P=0,516

Задача № 3.120


По результатам измерений длины n=76 плунжеров было получено =50 мм и S= 7 мм. Определить с надежностью 0,85 верхнюю границу для генеральной средней.

Ответ:50,2

Задача № 3.144

На основание выборочных наблюдений за производительностью труда n =37 рабочих было вычислено =400 метров ткани в час S= 12 м / ч. в предложение о нормальном распределение найти вероятность того, что средне квадратическое отклонение будет находится в интервале от 11 до 13.

Ответ: P(11<s<13)=0,8836

Задача № 4.6

С помощью критерия Пирсона на уровне значимости a=0,02 проверить гипотезу о биноминальном законе распределения на основание следующих данных.

Mi 85 120 25 10
Mt i 117 85 37 9
mi mi T (mi -mi T )2 (mi -mi T )2 / mi T
85 117 1024 8,752137
120 85 1225 14,41176
25 37 144 3,891892
10 9 1 0,111111
27,1669

c2 факт. =S(mi - mi T )/ mi T =27,17

c2 табл. = (n=2, a=0,02)=7,824

c2 факт > c2 табл

Ответ: Выдвинутая гипотеза о нормальном законе распределения отвергается с вероятностью ошибки альфа.

2-я контрольная работа

Задача 4.29

По результатам n =4 измерений в печи найдено = 254 ° C . Предполага­ется, что ошибка измерения есть нормальная случайная величина с s = 6 ° C . На уровне значимости a = 0.05 проверить гипотезу H0 : m = 250 ° C против гипотезы H1 : m = 260 ° C . В ответе записать разность между абсолютными величинами табличного и фактического значений выборочной характеристики.

m 1 > m 0 Þ выберем правостороннюю критическую область.

Ответ: Т.к. используем правостороннюю критическую область, и tкр > tнабл , то на данном уровне значимости нулевая гипотеза не отвергается (|tкр | - |tнабл |=0,98).

Задача 4.55

На основание n= 5 измерений найдено, что средняя высота сальниковой камеры равна мм, а S= 1,2 мм. В предположение о нормальном распределение вычислить на уровне значимости a =0,01 мощность критерия при гипотезе H0 :50 и H1 : 53

Ответ: 23

Задача 4.70

На основании n = 15 измерений найдено, что средняя высота сальниковой камеры равна = 70 мм и S = 3. Допустив, что ошибка изготовления есть нормальная случайная величина на уровне значимости a = 0.1 проверить гипотезу H0 : мм2 при конкурирующей гипотезе . В ответе записать разность между абсолютными величинами табличного и фактического значений выборочной характеристики.

построим левостороннюю критическую область.

Вывод: на данном уровне значимости нулевая гипотеза не отвергается ().

Задача 4.84

По результатам n = 16 независимых измерений диаметра поршня одним прибором получено = 82.48 мм и S = 0.08 мм. Предположив, что ошибки измерения имеют нормальное распределение, на уровне значимости a = 0.1 вычислить мощность критерия гипотезы H0 : при конкурирующей гипотезе H1 : .

построим левостороннюю критическую область.

Ответ: 23;

Задача 4.87

Из продукции двух автоматических линий взяты соответственно выборки n1 = 16 и n 2 = 12 деталей. По результатам выборочных наблюдений найдены = 180 мм и = 186 мм. Предварительным анализом установлено, что погрешности изготовления есть нормальные случайные величины с дисперсиями мм2 и мм2 . На уровне значимости a = 0.025 проверить гипотезу H 0 : m 1 = m 2 против H 1 : m 1 < m 2 .

Т.к. H1 : m1 <m2 , будем использовать левостороннюю критическую область.

Вывод: гипотеза отвергается при данном уровне значимости.

Задача 4.96

Из двух партий деталей взяты выборки объемом n1 = 16 и n 2 = 18 деталей. По результатам выборочных наблюдений найдены = 260 мм, S1 = 6 мм, = 266 мм и S2 =7 мм. Предполагая, что погрешности изготовления есть нормальные случайные величины и , на уровне значимости a = 0.01 проверить гипотезу H 0 : m 1 = m 2 против H 1 : m 1 ¹ m 2 .

Вывод : при данном уровне значимости гипотеза не отвергается.

Задача 4.118

Из n1 = 200 задач первого типа, предложенных для решения, студенты решили m1 = 152, а из n2 = 250 задач второго типа студенты решили m2 = 170 задач. Проверить на уровне значимости a = 0.05 гипотезу о том, что вероятность решения задачи не зависит от того, к какому типу она относится, т.е. H0 : P1 = P2 . В ответе записать разность между абсолютными величинами табличного и фактического значений выборочной характеристики.

Вывод: нулевая гипотеза при данном уровне значимости принимается ().

Задача 1.39:

Вычислить центральный момент третьего порядка (m3 * ) по данным таблицы:

Урожайность (ц/га), Х 34,5-35,5 34,5-36,5 36,5-37,5 37,5-38,5 38,5-39,5
Число колхозов, mi 4 11 20 11 4

Решение:

Урожайность (ц/га), Х Число колхозов, mi Xi mi xi (xi -x ср )3 (xi -x ср )3 mi
34,5-35,5 4 35 140 -8 -32
34,5-36,5 11 36 396 -1 -11
36,5-37,5 20 37 740 0 0
37,5-38,5 11 38 418 1 11
38,5-39,5 4 39 156 8 32
Итого: 50 - 1850 - 0


Ответ: m3 * =0

Задача 2.34:

В результате анализа технологического процесса получен вариационный ряд:

Число дефектных изделий 0 1 2 3 4
Число партий 79 55 22 11 3

Предполагая, что число дефектных изделий в партии распределено по закону Пуассона, определить вероятность появления 3 дефектных изделий.

Решение:

m 0 1 2 3 4
p 0.4647 0.3235 0.1294 0.0647 0.0176


Ответ: P=7.79*10-7

Зпадача 3.28:

В предложении о нормальной генеральной совокупности с s=5 сек., определить минимальный объем испытаний, которые нужно провести, чтобы с надежностью g=0.96 точность оценки генеральной средней m времени обработки зубчатого колеса будет равна d=2 сек.


Решение:

n=(5.1375)3 =26.39»27

Ответ: n=27


Задача 3.48:

На основании измерения n=7 деталей вычислена выборочная средняя и S=8 мк. В предположении, что ошибка изготовления распределена нормально, определить с надежностью g=0.98 точность оценки генеральной средней.

Решение:


St(t,n=n-1)=g=St(t,6)=0.98

Ответ: d=0.4278

Задача 3.82:

На основании n=4 измерений температуры одним прибором определена S=9°С. Предположив, что погрешность измерения есть нормальная случайная величина определить с надежностью g=0.9 нижнюю границу доверительного интервала для дисперсии.

Решение:


Ответ: 41.4587

Задача 3.103:

Из 400 клубней картофеля, поступившего на контроль вес 100 клубней превысили 50 г. Определить с надежностью g=0.98 верхнюю границу доверительного интервала для вероятности того, что вес клубня превысит 50 г.

Решение:


t=2.33


Ответ: 0.3

Задача 3.142:

По результатам 100 опытов установлено, что в среднем для сборки вентиля требуется Xср =30 сек., а S=7 сек. В предположении о нормальном распределении определить с надежностью g=0.98 верхнюю границу для оценки s генеральной совокупности.

Решение:


t=2.33


Ответ: 8.457

Задача 4.18:

Гипотезу о нормальном законе распределения проверить с помощью критерия Пирсона на уровне значимости a=0.05 по следующим данным:

mi 6 13 22 28 15 3
mi T 8 17 29 20 10 3

Решение:

mi mi T (mi -mi T )2 (mi -mi T )2 / mi T
6 8 4 0.5
13 17 16 0.941
22 29 49 1.6897
28 20 64 3.2
15 10 25 1.9231
3 3
Итого: - - 8.2537


Ответ: -2.2627

1.36.

Вычислить дисперсию.

Производительность труда Число рабочих Средняя производительность труда
81,5-82,5 9 82
82,5-83,5 15 83
83,5-84,5 16 84
84,5-85,5 11 85
85,5-86,5 4 86
Итого 55

2.19.

Используя результаты анализа и предполагая, что число дефектных изделий в партии распределено по закону Пуассона, определить теоретическое число партий с тремя дефектными изделиями.

m 0 1 2 3 4 5 Итого
fi 164 76 40 27 10 3 320
Pm 0,34 0,116 0,026 0,004 0,001
Pm*fi 288,75 25,84 4,64 0,702 0,04 0,003 320
fi теор. 288 26 5 1 0 0 320

m – число дефектных изделий в партии,

fi – число партий,

fi теор. = теоретическое число партий


Теоретическое значение числа партий получается округлением Pm*fi .

Соответственно, теоретическое количество партий с тремя дефектными изделиями равно 1.

3.20.

По выборке объемом 25 вычислена выборочная средняя диаметров поршневых колец. В предложении о нормальном распределении найти с надежностью γ=0,975 точность δ , с которой выборочная средняя оценивает математическое ожидание, зная, что среднее квадратическое отклонение поршневых колец равно 4 мм ..


3.40.


По результатам семи измерений средняя высота сальниковой камеры равна 40 мм ., а S=1,8 мм.. В предположении о нормальном распределении определить вероятность того, что генеральная средняя будет внутри интервала (0,98х;1,02х).

3.74.

По данным контрольных 8 испытаний определены х=1600 ч. и S=17ч..Считая, что срок службы ламп распределен нормально, определить вероятность того, что абсолютная величина ошибки определения среднего квадратического отклонения меньше 10% от S.


3.123.

По результатам 70 измерений диаметра валиков было получено х=150 мм., S=6,1 мм.. Найти вероятность того, что генеральная средняя будет находиться внутри интервала (149;151).


3.126

По результатам 50 опытов установлено, что в среднем для сборки трансформатора требуется х=100 сек ., S=12 сек .. В предположении о нормальном распределении определить с надежностью 0,85 верхнюю границу для оценки неизвестного среднего квадратического отклонения.


4.10

С помощью критерия Пирсона на уровне значимости α=0,02 проверить гипотезу о законе распределения Пуассона (в ответе записать разность между табличными и фактическими значениями χ2 ).

mi mi T (mi -mi T )2 (mi -mi T )2 /mi T
80 100 400 4
125 52 5329 102,5
39 38 1 0,03
12 100 4 0,4
∑=256 200 5734 122,63


Гипотеза противоречит закону распределения Пуассона.