Скачать .docx  

Реферат: Численные методы расчетов в Exel

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Северо-Западный государственный заочный

технический университет

Институт управления производственными и

инновационными программами

Кафедра информатики

Контрольная работа по дисциплине

«Математика. Часть 2.»

Тема: “ Численные методы и расчеты в EXCEL.”

Задача 1. Интерполяция функции с равноотстоящими узлами.

Анализ и прогнозирование в EXCEL.

Задача 2. Решение систем уравнений в EXCEL.

Задача 3. Комплексные числа.

Выполнила студентка: Шестакова Мария Дмитриевна

ИУПиИП

Курс: II

Специальность: 80502.65

Шифр: 578030493

Преподаватель: Ходоровская Валентина Сергеевна

Подпись преподавателя:

Санкт-Петербург

2007

Тема .

Численные методы и расчеты в EXCEL.

Задача 1.

Интерполяция функции с равноотстоящими узлами.

Анализ и прогнозирование в EXCEL.

I. Написать выражение для интерполяционного полинома Ньютона .

II. Составить программу для вычисления значения функции в заданных точках

x1 ; x2 ; x3 ; x4 :

1) при помощи полинома Ньютона для реализации ее в EXCEL ;

2) при помощи функций, осуществляющих прогноз вычислений

(ТЕНДЕНЦИЯ и ПРЕДСКАЗАНИЕ) .

Функция задана таблицей с равноотстоящими узлами :

x 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60
y 0.860 0.819 0.779 0.741 0.705 0.670 0.638 0.606 0.577 0.549
Значения x1 = 0.149 x2 = 0.240 x3 = 0.430 x4 = 0.560

Основные понятия.

Цель работы: научиться пользоваться программой EXCEL для получения аналитической зависимости по экспериментальным данным и изучение режимов экстраполяции данных в EXCEL .

Задача интерполяции сводится к требованию точного совпадения в узловых

точках функции и ее приближения, где число определяемых параметров аппроксимирующей зависимости равно числу точек. При выборе данного критерия задача сводится к построению интерполяционных многочленов (полиномов) .

По определению интерполяция — это отыскание промежуточных значений величины по некоторым известным ее значениям. Само слово интерполяция происходит от латинского “interpolation” , что в переводе значит изменение, переделка” .

Экстраполяция — это процедура аналогичная интерполяции, но при условии, что x лежит вне интервала (x0 , xn ) . Происходит от “экстра…” и латинского “polio” , что значит “приглаживаю, изменяю” .

Аппроксимация — это замена одних математических объектов (например, чисел или

функций) другими, более простыми и в том или ином смысле близкими к исходным(например, кривых линий близкими к ним ломаными). Слово происходит от латинского“approximo” , что значит “приближаюсь” .

Графически задача интерполяции заключается в том, чтобы построить такую интерполирующую функцию , которая бы проходила через все узлы интерполяции. Чаще всего в качестве интерполирующей функции F (x) используются многочлены Pn (x). Задача состоит в том, чтобы подобрать многочлен Pn (x), обеспечивающий требуемую интерполяцию е .

Наиболее успешно для интерполяции используется полином Ньютона , для записи которого в случае интерполяции функции с равноотстоящими узлами используются конечные разности .

Термин “полином” имеет то же значение, что и слово “многочлен” и происходит от “поли…” — часть сложных слов, указывающая на множество, всесторонний охват или разнообразный состав чего-либо (от греческого “polys” – многий, многочисленный, обширный) и латинского “nomen” , т.е. имя .

Конечной разностью первого порядка называется разность:

Дyi = yi + 1 - yi , i = 0,1, .... , n 1

Аналогично определяются конечные разности второго и более высоких порядков.

Интерполяционный полином Ньютона.

Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов записывается в виде:

Pn (x) = y0 + (x-x0 ) · Дy0 /1!h + (x-x0 )(x-x1 ) · ДІy0 /2!hІ+....+ ( x - x 0 )( x - x 1 )…..( x - xn -1 ) · Д n y 0 / n ! hn

Решение.

Выполнение задания I.

Напишем выражение для интерполяционного полинома Ньютона для экспериментальных данных, приведенных в вышеуказанной таблице. Конечные разности указаны в “Приложение 2” . Из таблицы видно, что значения x являются равноотстоящими узлами, так как возрастают равномерно с шагом h = 0,05 . Степень полинома определяется числом (порядком) конечных разностей ( в данном случае их девять ).

Pn (x ) = P9 (x)= y0 + (x-x0 ) Дy0 / 1!h + (x-x0 ) (x-x1 ) ДІy0 /2!h2 +..

..+ (x-x0 ) (x-x1 ) (x-x2 ) (x-x3 ) (x-x4 ) (x-x5 ) (x-x6 ) (x-x7 ) (x-x8 ) (x-x9 ) Д 9 y0 / 9! h9 =

0,860 + (x- 0,15) (-0,041) / 1! · 0,05 + (x- 0,15) (x- 0,20) · 0,001 / 2! · 0,05 2 +

(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) · 0,001 / 3! · 0,05 3 +(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) · (-0,001) / 4! · 0,05 4 +

(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30)(x- 0,35) · 0 / 5! · 0,05 5 +

(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30)(x- 0.35)(x- 0,40) · 0,004 / 6! · 0,05 6 +

(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) (x- 0,35) (x- 0,40) (x- 0,45) ·(-0,016) / 7! 0,05+

(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) (x- 0,35) (x- 0,40) (x- 0,45) ( x- 0,50) · 0,047 / 8! · 0,05 8 +

( x - 0,15) ( x - 0,20) ( x - 0,25) ( x - 0,30) ( x - 0,35) ( x - 0,40) ( x - 0,45) ( x - 0,50) ( x - 0,55) · (-0,119) / 9! · 0,05 9 .

Выполнение задания II.

1)Составление программы для вычисления значений функции в заданных точках при помощи полинома Ньютона.

Шаг первый:

Подготовка исходных данных электронной таблицы в EXCEL :

а ) Введем текстовые и числовые константы (ячейки A1 : N4).

б ) Введем номера по порядку в ячейки A5 : A14.

в ) Введем исходные данные в ячейки B5 : C14.

Таким образом подготовлена таблица для выполнения работы.

Шаг второй:

Ввод формул:

а ) Ввод формул для вычисления конечных разностей первого порядка :

а.1) в ячейку D5 введем формулу для вычисления Дy0 = y1 – y0 , которая примет вид: =C6–C5 ;

a.2) копируем эту формулу в ячейки D6 : D13. В результате в ячейке D6

получаем формулу =C7-C6 (т.е.Дy1 =y2 - y1 = 0,779 – 0,819 = -0,040 ),в ячейке D7

получаем формулу =C8-C7 (т.е. Дy2 = y3 – y2 = 0,741 – 0,779= -0,038 ) и т.д. до ячейки D13, где

получаем формулу

=C14-C13 (т.е. Дy8 = y9 – y8 = 0,549 – 0,577= -0,028 )

б) Ввод формул для вычисления конечных разностей второго порядка :

б.1) в ячейку E5 копируем формулу из ячейки D5. В ячейке E5 появится формула

=D6-D5 (т.е. ДІy0 = Дy1 - Дy0 = -0,040 - ( -0,041) = 0,001 ). Копируем эту формулу в ячейки E6 : E12.

В ячейке E12 получаем формулу =D13 - D1 (т.е. ДІy7 = Дy8 - Дy7 = - 0,028 - ( -0,029) = 0,001 ).

в) Ввод формул для вычисления конечных разностей вплоть до девятого порядка :

для вычисления всех конечных разностей необходимо ввести только одну формулу(в ячейке D5), все

остальные будут получены копированием, т.е. из ячейки E5 копируем формулу в ячейку F5, из F5 в G5 и т.д.

Отображение в режиме формул см. в “Приложении 1”.

Отображение в режиме значений см. в “Приложении 2” .

Шаг третий:

Ввод формул:

а) Ввод формул для вычисления промежуточных коэффициентов:

а.1) для вычисления первого промежуточного коэффициента (x-x0 /1!h) в ячейку M5 введем формулу

=($N$2 - B5) / (A5 + 1) / $F$2 . В ячейке N2 находится текущее значение x . При копировании адрес этой ячейки изменять нельзя, поэтому мы используем абсолютный адрес (значок $). В ячейке F2 находится шаг интерполяции , адрес этой ячейки тоже абсолютный (значок $).

а.2) для вычисления второго промежуточного коэффициента

(x-x0 ) (x- x1 )/2!h І = (x-x0 )/1·h · (x-x1 )/ 2·h = a · b,

гдеa коэффициент в ячейке M5, a = (x-x0 )/1h,

b коэффициент, на который нужно умножить M5, b = (x-x1 ) / 2h,

вводим в M6 формулу: =M5*($N$2 – B6) / (A6 + 1) / $F$2 .

а.3) после ввода данных в M5 и M6, для вычисления остальных промежуточных коэффициентов

копируем формулу из M6 в остальные 7 нижестоящие ячейки. Вячейке M7 мы увидим формулу:

=M6*($N$2 – B7) / (A7 + 1) / $F$2 , в ячейке M8 мыувидим формулу: =M7*($N$2 – B8) / (A8 + 1) / $F$2 и

т.д.

Шаг четвертый:

Ввод формул:

а) Ввод формул для вычисления полинома Ньютона:

а.1) для вычисления первого полинома Ньютона , который равен (x-x0 ) · Дy0 / 1!h = (x-x0 ) / 1h ·Дy0 , содержимое ячейки M5 надо умножить на содержимое ячейки D5, где хранятся конечные разности первого порядка . Вводим в ячейку N5 формулу =M5*D$5 . Знак $ перед номером строки необходим, т.к. в полиноме Ньютона находятся только конечные разности с индексом ноль, т.е. все конечные разности берутся только из строки с номером 5;

а.2) для ввода остальных членов полинома Ньютона копируем формулу из N5 в остальные 8 нижестоящих ячеек (включительно по N13). Получаем в N6 формулу =M6*E$5 , в N7 формулу =M7*F$5 , в N8 формулу =M8*G$5 и т.д. до ячейки N13.

Шаг пятый :

Ввод формул:

а) Ввод формул для вычисления суммы коэффициентов полинома Ньютона:

а.1) объединим ячейки A16 : M16, затем в объединенные ячейки введем комментарий

"Сумма коэффициентов полинома”;

а.2) в ячейку N16 вводим формулу =СУММ(N5:N13) . Теперь в N16 будет сумма всех членов полинома Ньютона, кроме y0 . При x = 0,149 в ячейке N16 получается число 0,001.

Шаг шестой:

Ввод формул:

а) Ввод формул для вычисления значения полинома:

а.1) объединим ячейки A18 : M18, затем в объединенные ячейки введем комментарий "Значение полинома" ;

а.2) в ячейку N18 вводим формулу =N16+C5 . В ячейке N18 появится число 0,861 , которое и есть значение полинома, вычисленное в точке x = 0,149

Шаг седьмой:

Вычисление сумм коэффициентов полинома и значений полинома

при x = 0,240 ; x = 0,430 ; x = 0,560.

а) в ячейку N2 вводим 0,240 . Результат:

в ячейке N16 — (-0,073); в ячейке N18 — (0.787);

б) в ячейку N2 вводим 0,430 . Результат:

в ячейке N16 — (-0,209); в ячейке N18 — (0,651);

в) в ячейку N2 вводим 0.560 . Результат:

в ячейке N16 — (-0,287); в ячейке N18 — (0,573).

Шаг восьмой:

Для удобства полученные данные занесем в нашу таблицу.

Таблицы прилагаются. Режим формул — “Приложение 1”. Режим значений — “Приложение 2.

2)Составление программы для вычисления значений функции в заданных точках при помощи функций, осуществляющих прогноз вычислений (ТЕНДЕНЦИЯ и ПРЕДСКАЗАНИЕ).

Экстраполяция (прогнозирование) с помощью функции аппроксимации кривой.

Табличный процессор EXCEL предоставляет возможность аппроксимации с использованием “функций аппроксимации кривой”

Пусть в узлах x0 , x1 , …, x n известны значения f(x0 ), f(x1 ), … ,f(x n ). Необходимо осуществить экстраполяцию (прогнозирование), т.е. вычислить значения f(x n+1 ), f(x n+2 ), … .

В категории Статистические функции EXCEL для этого используются две функции: ТЕНДЕНЦИЯ и ПРЕДСКАЗАНИЕ , осуществляющие линейную аппроксимацию кривой для данных массивов

x (x0 , x1 , … , x n ) и y (y0 ,y1 , … , y n ) методом наименьших квадратов.

Функция ТЕНДЕНЦИЯ имеет структуру:

ТЕНДЕНЦИЯ (y массив, x массив, x список)

y массив , x массив — даны из условия.

x список -- это те значения x , для которых требуется сосчитать значения функции f(x).

Функция ПРЕДСКАЗАНИЕ имеет структуру:

ПРЕДСКАЗАНИЕ ( x ; y массив; x массив)

После аппроксимации эта функция возвращает только одно прогнозируемое значение y (для одного из заданных значений аргументов.

Работа с функцией ТЕНДЕНЦИЯ.

Шаг первый:

Создадим электронную таблицу в EXCEL , используя исходные данные.

Шаг второй:

Для того, чтобы поместить результат в список итоговых ячеек C6:F6, выделим эти ячейки.

Шаг третий:

Далее необходимо щелкнуть по пиктограмме Мастер функций .

Шаг четвертый:

а) В первом окне выберем категорию Статистические , функцию ТЕНДЕНЦИЯ,

затем щелкнем по OK.

б) В окне “Известные значения y введем адрес блока ячеек C3:L3.

в) В окне “Известные значения x введем адрес блока ячеек C2:L2.

г) В окне “Новые значения x укажем адрес блока ячеек C5:F5.

Шаг пятый:

Для подтверждения этой функции одновременно нажмем клавиши SHIFT / CTRL и ENTER. В ячейках C6:F6 мы увидим прогноз.

В режиме формул:в ячейке C6 — =ТЕНДЕНЦИЯ(C3:L3;C2:L2;C5)

в ячейке D6 — =ТЕНДЕНЦИЯ(C3:L3;C2:L2;D5)

в ячейке E6 — =ТЕНДЕНЦИЯ(C3:L3;C2:L2;E5)

в ячейке F6 — =ТЕНДЕНЦИЯ(C3:L3;C2:L2;F5)

В режиме значений: в ячейке C6 — 0,8610

в ячейке D6 — 0,7951

в ячейке E6 — 0,6576

в ячейке F6 — 0,5635

Таблицы прилагаются.

Режим формул — “Приложение 3” . Режим значений “Приложение 4”.

Работа с функцией ПРЕДСКАЗАНИЕ.

Шаг первый:

Создадим электронную таблицу в EXCEL , используя исходные данные.

Шаг второй:

Для размещения результата активизируем ячейку С6.

Шаг третий:

а) При помощи Мастера функций вызовем функцию ПРЕДСКАЗАНИЕ,

категория Статистические.

б) В окне “x” укажем адрес ячейки C6.

в) В окне “Известные значения y укажем адрес блока ячеек C3:L3.

г) В окне “Известные значения x укажем адрес блока ячеек C2:L2.

Шаг четвертый:

Для подтверждения этой функции щелкнем по OK . В ячейке C6 появится результат. Для появления результата в остальных ячейках, проделаем все то же самое, поочередно активизируя ячейки D6, E6, F6.

В результате мы увидим:

В режиме формул:

в ячейке C6 — =ПРЕДСКАЗ(C5;C3:L3;C2:L2)

в ячейке D6 — =ПРЕДСКАЗ(D5;C3:L3;C2:L2)

в ячейке E6 — =ПРЕДСКАЗ(E5;C3:L3;C2:L2)

в ячейке F6 — =ПРЕДСКАЗ(F5;C3:L3;C2:L2)

В режиме значений: в ячейке C6 — 0,8506

в ячейке D6 — 0,7877

в ячейке E6 — 0,6564

в ячейке F6 — 0,5665

Таблицы прилагаются. Режим формул — “Приложение 5”. Режим значений — “Приложение 6”.

Итоговая сравнительная таблица.

Для сравнения значений функции в точках:

x 1 = 0,149;

x 2 = 0,240;

x 3 = 0,430;

x 4 = 0,560;

полученных при помощи трех разных способов:

1 полинома Ньютона,

2 функции ТЕНДЕНЦИЯ,

3 функции ПРЕДСКАЗАНИЕ;

создадим сравнительную таблицу,

x

Значение полинома

Ньютона

Прогнозирование значения функции при помощи функций:
ТЕНДЕНЦИЯ ПРЕДСКАЗАНИЕ
0,149 0,861 0,86 * 0,861 0,86 * 0,8506 0,85 *
0,240 0,787 0,79 * 0,795 0,80 * 0,7877 0,79 *
0,430 0,651 0,65 * 0,658 0,66 * 0,6564 0,66 *
0,560 0,573 0,57 * 0,564 0,56 * 0,5665 0,57 *

* Результаты вычислений округлены до двух знаков после запятой.

Вывод: значение функции в заданных четырех точках мы получили тремя разными способами. Для наглядности все полученные данные мы свели в итоговую сравнительную таблицу. Видно, что результаты получились не совсем одинаковые. Но однако в целом, отклонения в значениях в пределах 0,01 , что вполне допустимо для наших данных. Для того, чтобы получить более точные значения функции в определенной точке, необходимо, чтобы исходные данные были представлены более широким спектром узлов.

Задача 2.

Решение систем уравнений в EXCEL.

Решить заданную систему уравнений:

1) методом обратной матрицы;

2) методом простых итераций.

0,1 x1 + 4,6 x2 + 7,8 x3 = 9,8

2,8 x1 + 6,1 x2 + 2,8 x3 = 6,7

4,5 x1 + 5,7 x2 + 1,2 x3 = 5,8

Цель работы: научиться решать в EXCEL системы конечных уравнений методом обратной матрицы и простых итераций.

Основные понятия.

Уравнение это математическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при которых значения данных функций равны. Аргументы, от которых зависят функции, называются неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения функций равны, называются решениями (корнями).

Матрица это прямоугольная таблица каких-либо элементов aik (чисел, математических выражений), состоящая из m строк и n столбцов. Если m = n , то матрица называется квадратной.

Детерминант (определитель) — это число detA, которое можно сопоставить квадратной матрице А.

Минором некоторого элемента аij определителя n-го порядка называется определитель n первого порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент.

Алгебраическим дополнением элемента аij определителя называется его минор, взятый со знаком “+”, если сумма “ i+j” четное число, и со знаком “-“ , если эта сумма нечетная.

Итерация это повторное применение каких-либо математических операций. Происходит от латинского “iteratio” ,что в переводе значит “повторение”.

Решение.

1). Математический расчетрешения системы уравнений методом обратной матрицы.

Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными .

а). Рассмотрим матрицы:

матрица системы (составлена из коэффициентов при неизвестных ):

0,1 4,6 7,8

А = 2,8 6,1 2,8

4,5 5,7 1,2

матрица неизвестных:

x1

X =x2

x3

— матрица свободных членов:

9,8

B = 6,7

5,8

б). Найдем детерминант (определитель) матрицы А.

Поопределению: det A = a11 · A11 + a12 · A12 + a13 · A13 ,

где a11 , a12 , a13 элементы первой строки матрицы A ,

A11 , A12 , A13 — их алгебраические дополнения .

- если detA = 0, то обратной матрицы не существует ;

- если detA ≠ 0, то обратная матрица существует .

Для того, чтобы найти детерминант необходимо сосчитать алгебраические дополнения.

По определению: Aik = (-1)i+k · Mik ,

где i - номер строки матрицы,

k - номер столбца матрицы,

M - минор.

- если сумма i+k четная, то Aik = 1 · Mik

A11 = 6,1 · 1,2 - 5,7 · 2,8 = 7,32 - 15,96 = - 8,64

A12 = 2,8 · 1,2 - 4,5 · 2,8 = 3,36 - 12,6 = 9,24

A13 = 2,8 · 5,7 - 4,5 · 6,1 = 15,96 - 27,45 = -11,49

Теперь мы можем сосчитать детерминант.

detA = 0,1 · (-8,64) + 4,6 · 9,24 + 7,8 · (-11,49) = -0,864 + 42,504 - 89,622 = - 47,982

detA ≠ 0 => обратная матрица существует и можно продолжать вычисления.

в). Найдем обратную матрицу А-1 .

Поопределению:

A11 A21 A31

A-1 = A12 A22 A32 · 1/ detA ,

A13 A23 A33

где А11 , …, А33 - алгебраические дополнения матрицы А .

Для нахождения обратной матрицы А-1 , сначала сосчитаем все алгебраические дополнения матрицы А :

A21 = 4,6 7,8 = 4,6 · 1,2 - 7,8 · 5,7 = 5,52 - 44,46 = + 38,94

5,7 1,2

A22 = 0,1 7,8 = 0,1 · 1,2 - 7,8 · 4,5 = 0,12 - 35,1 = - 34,98

4,5 1,2

A23 = 0,1 4,6 = 0,1 · 5,7 - 4,6 · 4,5 = 0,57 - 20,7 = + 20,13

4,5 5,7

A31 = 4,6 7,8 = 4,6 · 2,8 - 7,8 · 6,1 = 12,88 - 47,58 = - 34,7

6,1 2,8

A32 = 0,1 7,8 = 0,1 · 2,8 - 2,8 · 7,8 = 0,28 - 21,84 = + 21,56

2,8 2,8

A33 = 0,1 4,6 = 0,1 · 6.1 - 4,6 · 2,8 = 0,61 - 12,88 = - 12,24

2,8 6,1

Теперь мы можем сосчитать обратную матрицу А-1 , подставив в формулу полученные данные:

1/detA = 1 / - 47,982 = - 0,0208411

- 8,64 38,94 - 34,7 0,1800675 - 0,8115543 0,72318786 A-1 = - 0,0208411 · 9,24 - 34,98 21,56 = - 0,1925722 0,7290234 0,44933516

- 11,49 20,13 - 12,27 0,2394647 - 0,4195323 0,25572089

Чтобы узнать правильно ли мы нашли обратную матрицу , необходимо сделать проверку. Если выполняется равенство:

A-1 · A = E, где E - единичная матрица , то обратная матрица найдена верно.

0,1800675 - 0,8115543 0,7231879 0,1 4,6 7,8

A-1 · A = - 0,1925722 0,7290234 - 0,4493352 · 2,8 6,1 2,8

0,2394647 - 0,4195323 0,2557209 4,5 5,7 1,2

Произведем промежуточные вычисления:

С11 = 0,1800675 · 0,1 + (-0,8115543) · 2,8 + 0,7231879 · 4,5 = 1

C12 = 0,1800675 · 4,6 + (-0,8115543) · 6,1 + 0,7231879 · 5,7 = 0

C13 = 0,1800675 · 7,8 + (-0,8115543) · 2,8 + 0,7231879 · 1,2 = 0

C21 = (-0,1925722) · 0,1 + 0,7290234 · 2,8 + (-0,4493352) · 4,5 = 0

C22 = (-0,1925722) · 4,6 + 0,7290234 · 6,1 + (-0,4493352) · 5,7 = 1

C23 = (-0,1925722) · 7,8 + 0,7290234 · 2,8 + (-0,4493352) · 1,2 = 0

C31 = 0,2394647 · 0,1 + (-0,4195323) · 2,8 + 0,2557209 · 4,5 = 0

C32 = 0,2394647 · 4,6 + (-0,4195323) · 6,1 + 0,2557209 · 5,7 = 0

С33 = 0,2394647 · 7,8 + (-0,4195323) · 2,8 + 0,2557209 · 1,2 = 1

1 0 0

A-1 · A = 0 1 0 = E

0 0 1

Обратную матрицу нашли верно.

г). Найдем матрицу X (матрицу неизвестных).

По определению: X = A-1 · B ,

где B — исходная матрица B (матрица свободных членов).

0,1800675 - 0,8115543 0,7231879 9,8 0,521737

X = - 0,1925722 0,7290234 - 0,4493352 · 6,7 = 0,391105

0,2394647 - 0,4195323 0,2557209 5,8 1,019069

Матрицу X нашли, соответственно корни уравнений :

x1 = 0,521737

x2 = 0,391105

x3 = 1,019069

д). Проверка. Подставим в исходную систему уравнений полученные значения:

0,1 · 0,521737 + 4,6 · 0,391105 + 7,8 · 1,019069 = 0,0521737 + 1,799083 + 7,9487382 = 9,7999949 = 9,8

2,8 · 0,521737 + 6,1 · 0,391105 + 2,8 · 1,019069 = 1,4608636 + 2,385745 + 2,8533932 = 6,6999742 = 6,7

4,5 · 0,521737 + 5,7 · 0,391105 + 1,2 · 1,019069 = 2,3478165 + 2,229298 + 1,2229152 = 5,8000252 = 5,8

Система уравнений методом обратной матрицы решена верно.

1.1). Составление программы для решения системы уравнений методом обратной матрицы в EXCEL.

Шаг первый:

Для решения системы уравнений в EXCEL необходимо подготовить таблицу с исходными данными:

а). Введем текстовые и числовые константы (ячейки A1:E10).

Шаг второй:

Необходимо обратить матрицу А . Применяемая для обращения матрицы функция МОБР возвращает массив значений, который вставляется сразу в целый столбец ячеек.

а). Выделим ячейки А11:С13, куда будет помещена обратная матрица .

б). При помощи Мастера функций вызовем функцию МОБР, категория Математические.

в). В окне “Массив” укажем адрес массива исходной матрицы A6:C8.

г). Для того, чтобы вставить формулу во все выделенные ячейки (A11:C13), нажмем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter.

В ячейках A11:C13 появится:

— в режиме формул — =МОБР(А6:C8) ;

— в режиме значений — массив обратной матрицы .

Шаг третий:

Для умножения обратной матрицы на столбец свободных членов :

а). Выделим ячейки E11:E13.

б). При помощи Мастера функций выберем функцию МУМНОЖ, категория Математические .

в). В окно “Массив 1” введем адрес массива обратной матрицы A11:C13.

г). В окно “Массив 2” введем адрес массива матрицы свободных членов E6:E8.

д). Для вставки Формулы во все выделенные ячейки (E11:E13), нажмем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter.

В ячейках E11:E13 появится:

— в режиме формул — =МУМНОЖ(А11:C13;E6:E8) ;

— в режиме значений — компоненты векторов решения x1 , x2 , x3 .

Таблицы прилагаются. Режим формул — “Приложение 7”. Режим значений — “Приложение 8”.

1.2). Проверка — сравнение результатов, полученных разными способами.

Для наглядности создадим сравнительную таблицу:

Математический расчет методом обратной матрицы Обращение матрицы в EXCEL
x1 0,521737 0,521737318
x2 0,391105 0,391104998
x3 1,019069 1,019069651

1.3). Вывод.

Сначала предложенную нам систему уравнений мы решили методом обратной матрицы . Затем в EXCEL составили специальную программу, позволяющую решить систему уравнений путем обращения матрицы .

Для наглядности полученные результаты занесли в сравнительную таблицу.

Из таблицы видно, что результаты получились практически одинаковыми. Отклонения в значениях расходятся в столь малых пределах, что являются допустимыми для нашего случая. Однако это произошло из-за того, что при выполнении математических расчетов значения округлялись.

Таким образом, мы выявили, что в EXCEL результаты получаются более точные .

2) Решение заданной системы уравнений методом простых итераций.

Для того, чтобы решить систему трех линейных уравнений методом простых итераций, необходимо ее преобразовать так, чтобы диагональные коэффициенты матрицы x1 , x2 , x3 были максимальными по модулю. Этим выполняется 1-е условие сходимости итерационного процесса .

Заданная нам система имеет вид:

0,1x1 + 4,6x2 + 7,8x3 = 9,8

2,8x1 + 6,1x2 + 2,8x3 = 6,7

4,5x1 + 5,7x2 + 1,2x3 = 5,8

a) Достаточно хорошо видно, что для преобразования нам достаточно только поменять местами первое и третье уравнения . Получится система вида:

4,5x1 + 5,7x2 + 1,2x3 = 5,8

2,8x1 + 6,1x2 + 2,8x3 = 6,7

0,1x1 + 4,6x2 + 7,8x3 = 9,8

б) Для решения системы уравнений методом простых итераций необходимо представить полученную систему уравнений в итерационной форме , записав каждое из трех уравнений в виде решения относительно той неизвестной переменной, которая имеет наибольший по модулю коэффициент.

4,5x1 + 5,7x2 + 1,2x3 = 5,8

x1 = - 5,7x2 / 4,5 - 1,2x3 / 4,5 + 5,8 / 4,5

2,8x1 + 6,1x2 + 2,8x3 = 6,7

x2 = - 2,8x1 / 6,1 - 2,8x3 / 6,1 + 6,7 / 6,1

0,1x1 + 4,6x2 + 7,8x3 = 9,8

x3 = - 0,1x1 / 7,8 - 4,6x2 / 7,8 + 9,8 / 9,7

В итерационной форме получили систему:

x1 = - 5,7x2 / 4,5 - 1,2x3 / 4,5 + 5,8 / 4,5

x2 = - 2,8x1 / 6,1 - 2,8x3 / 6,1 + 6,7 / 6,1

x3 = - 0,1x1 / 7,8 - 4,6x2 / 7,8 + 9,8 / 9,7

в) Проверка выполнения первого условия сходимости метода для данной системы.

При использовании итерационного метода решения необходимо обязательно проверить два условия сходимости метода для данной системы. Первое условие у нас выполнено (диагональные коэффициенты матрицы x1 , x2 , x3 в полученной системе являются максимальными по модулю).

г) Проверка выполнения второго условия сходимости метода для данной системы (условие “НОРМА”).

Теперь необходимо проверить условие “НОРМА” (обозначается ║C ║), т.е. необходимо оценить сходимость метода для данной системы , которая зависит только от матрицы коэффициентов [ C ]. Процесс сходится только в том случае,если норма матрицы [ С ] меньше единицы , т.е.

║C║=√Σaaj 2 <1

В итерационной форме имеем систему:

x1 = - 5,7x2 / 4,5 - 1,2x3 / 4,5 + 5,8 / 4,5

x2 = - 2,8x1 / 6,1 - 2,8x3 / 6,1 + 6,7 / 6,1

x3 = - 0,1x1 / 7,8 - 4,6x2 / 7,8 + 9,8 / 7,8

или

x1 = 0 - 5,7x2 / 4,5 - 1,2x3 / 4,5 + 1,288889

x2 = 2,8x1 / 7,8 - 0 - 2,8x3 / 6,1 + 1,0983607

x3 = 0,1x1 / 7,8 - 4,6x2 / 7,8 - 0 + 1,2564103

Проверка выполнения второго условия “НОРМА” :

0 - 5,7 / 4,5 - 1,2 / 4,5

[C] = - 2,8 / 6,1 0 - 2,8 / 6,1

- 0,1 / 7,8 - 4,6 / 7,8 0

║C║ = √ У aij 2 < 1

║C║ = √ (-5,7 / 4,5)2 + (-1,2 / 4,5)2 + (-2,8 / 6,1 )2 + (-2,8 / 6,1)2 + (-0,1 / 7,8)2 + (-4,6 / 7,8)2

║C║= √ (-1,2666667)2 +(-0,2666667)2 +(-0,4590164)2 +(-0,4590164)2 +(-0,0128205)2 +(-0,5897436)2

║C║= √ (1,6044445) + (0,0711111) + (0,2106961) + (0,2136961) + (0,0001691) + (0,3477975)

║C║ =√ 2,4449144

║C║ = 1,5636222 > 1

Таким образом, условие “НОРМА” не выполнено.

Вывод: так каквторое условие сходимости итерационного процесса не выполнено , то решение данной системы уравнений не может быть получено методом простых итераций.


Задача 3.

Комплексные числа.

Даны два комплексных числа , записанные в показательной форме .

z1 = 3e -(р/4) i

z2 = е (р/4) i

1). Записать эти числа в тригонометрической форме ;

2). Найти сумму z1 + z2 и произведение z1 · z2 , переведя их в алгебраическую форму записи;

3). Изобразить на комплексной плоскости операнды и результаты .

Основные понятия.

Комплексным числом называется выражение вида

z = x + iy , где

“x” и “y” — действительные числа,

“i” — символ, называемый мнимой единицей и удовлетворяющий условию i2 = -1.

Операнд — величина, представляющая собой объект операции, реализуемой ЭВМ в ходе выполнения программы вычислений.

Решение.

1). Тригонометрическая форма записи.

Положение точки z на комплексной плоскости однозначно определяется не только декартовыми координатами x , y , но и полярными координатами r , ц. Воспользовавшись связью декартовых и полярных координат, получим тригонометрическую форму записи комплексного числа

z = r cos ц + i r sin ц = r ( cos ц + i sin ц ),

где cos ц + sin ц = ei ц => ц = р /4

При этом r называют модулем, а ц - аргументом комплексного числа.

1.1) z1 = 3 · (cos р /4 ­ i sin р /4) = 3√2/2 ­ i 3√2/2

1.2) z2 = r · ei ц = r (cos р /4 + i sin р /4) = √2/2 + i √2/2

2). Алгебраическая форма записи:

2.1) Сумма.

Если z1 = x1 + iy1 , а z2 = x2 + iy2 , то

z1 + z2 = (x1 + iy1 ) + (x2 + iy2 ) = (x1 + x2 ) + i (y1 + y2 )

z1 + z2 = (3√2/2 + √2/2) + i (­3√2/2 + √2/2) = 4√2/2 ­ i 2√2/2= = 2√2 - i√2

2.2) Произведение.

Если z1 = x1 + iy1 , а z2 = x2 + iy2 , то

z1 · z2 = (x1 + iy1 ) · (x2 + iy2 ) = (x1 x2 ­ y1 y2 ) + i (x1 y2 + x2 y1 )

z1 ·z2 =(3√2/2 ·√2/2 + 3√2/2 · √2/2)+ i(3√2/2 · √2/2 - √2/2 · 3√2/2 )=

= 3· 2/4 + 3 · 2/4 + i · 0 = 3

3).Изображение на комплексной плоскости операнд и результатов.

Для упрощения преобразуем значения x и y из простых дробей в десятичные.

x1 = 3√2/2 = 2,1 y1 = - 3√2/2 = -2,1

x2 = √2/2 = 0,7 y2 = √2/2 = 0,7

x3 = 2√2 = 2,8 y3 = -√2 = -1,4

x4 = 3 y4 = 0

y

0,7 Z2

0,7 2,1 2,8

0 Z4

3 x

- 1,4 Z3

- 2,1 Z1

Операнды Z1 иZ2

Результаты Z1 +Z2 = Z3

Z1 ·Z2 = Z4