Скачать .docx  

Реферат: Применение методов линейного программирования для оптимизации стоимости перевозок

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Реферат

по дисциплине: Методы и модели в экономике и менеджменте.

на тему: «Применение методов линейного программирования для оптимизации стоимости перевозок»

Воронеж 2010

Под названием “транспортная задача” объединяется широкий круг задач с единой математической моделью. Данные задачи относятся к задачам линейного программирования и могут быть решены симплексным методом. Однако матрица системы ограничений транспортной задачи настолько своеобразна, что для ее решения разработаны специальные методы. Эти методы, как и симплексный метод, позволяют найти начальное опорное решение, а затем, улучшая его, получить оптимальное решение.

В общей постановке транспортная задача состоит в отыскании оптимального плана перевозок некоторого однородного груза с баз потребителям .

Различают два типа транспортных задач: но критерию стоимости (план перевозок оптимален, если достигнут минимум затрат на его реализацию) и по критерию времени (план оптимален, если на его реализацию затрачивается минимум времени).

(3. )
Обозначим количество груза, имеющегося на каждой из баз (запасы), соответственно ,а общее количество имеющегося в наличии груза–:

;

(3. )
заказы каждого из потребителей (потребности) обозначим соответственно, а общее количество потребностей – :

,

(3. )
Тогда при условии


(3. )
мы имеем закрытую модель, а при условии

– открытую модель транспортной задачи.

Очевидно, в случае закрытой модели весь имеющийся в наличии груз развозится полностью, и все потребности заказчиков полностью удовлетворены; в случае же открытой модели либо все заказчики удовлетворены и при этом на некоторых базах остаются излишки груза , либо весь груз оказывается израсходованным, хотя потребности полностью не удовлетворены .

Так же существуют одноэтапные модели задач, где перевозка осуществляется напрямую от, например, базы или завода изготовителя к потребителю, и двухэтапные, где между ними имеется “перевалочный пункт”, например – склад.

План перевозок с указанием запасов и потребностей удобно записывать в виде следующей таблицы, называемой таблицей перевозок (Таблица 3. ):

Таблица 3. - План перевозок с указанием запасов и потребностей

Пункты

Отправления

Пункты назначения Запасы
Потребности

или


Условие или означает, с какой задачей мы имеем дело, с закрытой моделью или открытой моделью транспортной задачи. Переменное означает количество груза, перевозимого с базы потребителю : совокупность этих величин образует матрицу (матрицу перевозок).

Очевидно, переменные должны удовлетворять условиям:

(3. )

Система (3. ) содержит уравнений с неизвестными. Её особенность состоит в том, что коэффициенты при неизвестных всюду равны единице. Кроме того, все уравнения системы (3. ) могут быть разделены на две группы: первая группа из т первых уравнений (“горизонтальные” уравнения) и вторая группа из п остальных уравнений (“вертикальные” уравнения). В каждом из горизонтальных уравнений содержатся неизвестные с одним и тем же первым индексом (они образуют одну строку матрицы перевозок), в каждом из вертикальных уравнений содержатся неизвестные с одним и тем же вторым индексом (они образуют один столбец матрицы перевозок). Таким образом, каждая неизвестная встречается в системе (3. ) дважды: в одном и только одном горизонтальном и в одном и только одном вертикальном уравнениях.

Такая структура системы (3. ) позволяет легко установить ее ранг. Действительно, покажем, что совокупность неизвестных, образующих первую строку и первый столбец матрицы перевозок, можно принять в качестве базиса. При таком выборе базиса, по крайней мере, один из двух их индексов равен единице, а, следовательно, свободные неизвестные определяются условием , .Перепишем систему (3. ) в виде

(3. )

где символы и означают суммирование по соответствующему индексу. Так, например,

При этом легко заметить, что под символами такого суммирования объединяются только свободные неизвестные (здесь , ).

В рассматриваемой нами системе только два уравнения, а именно первое горизонтальное и первое вертикальное, содержат более одного неизвестного из числа выбранных нами для построения базиса. Исключив из первого горизонтального уравнения базисные неизвестные с помощью вертикальных уравнений, мы получаем уравнение

или короче

(3. )

где символ означает сумму всех свободных неизвестных. Аналогично, исключив из первого вертикального уравнения базисные неизвестные с помощью горизонтальных уравнений, мы получаем уравнение

(3. )

Так как для закрытой модели транспортной задачи , то полученные нами уравнения (3. ) и (3. ) одинаковы и, исключив из одного из них неизвестное , мы получим уравнение-тождество 0=0, которое из системы вычеркивается.

Итак, преобразование системы (3. ) свелось к замене двух уравнений (первого горизонтального и первого вертикального) уравнением (3. ). Остальные уравнения остаются неизменными. Система приняла вид


(3. )

В системе (3. ) выделен указанный выше базис: базисные неизвестные из первых т уравнений образуют первый столбец матрицы перевозок, а базисные неизвестные остальных уравнений образуют первую строку матрицы перевозок без первого неизвестного [она входит в первое уравнение системы (3. )]. В системе (3. ) имеется уравнений, выделенный базис содержит неизвестных, а, следовательно, и ранг системы (3. ) .

Для решения транспортной задачи необходимо кроме запасов и потребностей знать также и тарифы , т. е. стоимость перевозки единицы груза с базы потребителю .

Совокупность тарифов также образует матрицу, которую можно объединить с матрицей перевозок и данными о запасах и потребностях в одну таблицу 3.:

Таблица 3. - Совокупность тарифов данные о запасах и потребностях

Пункты

Отправления

Пункты назначения Запасы
Потребности

или

Сумма всех затрат, т. е. стоимость реализации данного плана перевозок, является линейной функцией переменных :

(3. )

Требуется в области допустимых решений системы уравнений (3. ) и (3.) найти решение, минимизирующее линейную функцию (3. ).

Таким образом, мы видим, что транспортная задача является задачей линейного программирования. Для ее решения применяют также симплекс-метод, но в силу специфики задачи здесь можно обойтись без симплекс-таблиц. Решение можно получить путем некоторых преобразований таблицы перевозок. Эти преобразования соответствуют переходу от одного плана перевозок к другому. Но, как и в общем случае, оптимальное решение ищется среди базисных решений. Следовательно, мы будем иметь дело только с базисными (или опорными) планами. Так как в данном случае ранг системы ограничений-уравнений равен то среди всех неизвестных выделяется базисных неизвестных, а остальные · неизвестных являются свободными. В базисном решении свободные неизвестные равны нулю. Обычно эти нули в таблицу не вписывают, оставляя соответствующие клетки пустыми. Таким образом, в таблице перевозок, представляющей опорный план, мы имеем заполненных и · пустых клеток.

На предприятии ОАО «Электросигнал» имеется 4 транзитных склада Аi , на которых хранятся сборочные узлы и 5 цехов Bj , занимающихся сборкой готовой продукции. Ниже, в таблице 3., приведены данные по количеству сборочных узлов на каждом складе, запросы цехов и стоимость перевозки одного агрегата из Аi в Bj . Необходимо составить такой план перевозок, при котором запросы цехов будут удовлетворены при минимальной суммарной стоимости перевозок.


Таблица 3. – Исходные данные по количеству сборочных узлов и стоимость перевозки

Цеха

Склад

B1

(b1 =40)

B2

(b2 =50)

B3

(b3 =15)

B4

(b4 =75)

B5

(b5 =40)

А1 1 =50) 1,0 2,0 3,0 2,5 3,5
А22 =20) 0,4 3,0 1,0 2,0 3,0
А33 =75) 0,7 1,0 1,0 0,8 1,5
А44 =80) 1,2 2,0 2,0 1,5 2,5

В данном случае Σai =225 >Σbj =220 => имеем дело с открытой моделью транспортной задачи. Сведем ее к закрытой введением фиктивного цеха B6 с потребностью b5 =225-220=5 и стоимостью перевозок сi 6 =0.Имеем таблицу 3. :

Таблица 3. -

Цеха

Склад

B1

(b1 =40)

B2

(b2 =50)

B3

(b3 =15)

B4

(b4 =75)

B5

(b5 =40)

B6

(b6 =5)

А1 1 =50) 1,0 2,0 3,0 2,5 3,5 0
А22 =20) 0,4 3,0 1,0 2,0 3,0 0
А33 =75) 0,7 1,0 1,0 0,8 1,5 0
А44 =80) 1,2 2,0 2,0 1,5 2,5 0

Математическая модель: обозначим xij – количество товара, перевозимого из Аi в Bj . Тогда

x11 x12 x13 x14 x15 x16

x21 x22 x23 x24 x25 x26

X = x31 x32 x33 x34 x35 x36 - матрица перевозок.

x41 x42 x43 x44 x45 x46

min(x11 +2x12 +3x13 +2,5x14 +3,5x15 +0,4x21 +3x22 +x23 +2x24 +3x25 +0,7x31 +x32 +x33 +0,8x34 +1,5x35 ++1,2x41 +2x42 +2x43 +1,5x44 +2,5x45 ) (3. )


x11 +x12 +x13 +x14 +x15 +x16 =50

x21 +x22 +x23 +x24 +x25 +x26 =20

x31 +x32 +x33 +x34 +x35 +x36 =75

x41 +x42 +x43 +x44 +x45 +x46 =80

(3. )
x11 +x21 +x31 +x41 =40

x12 +x22 +x32 +x42 =50

x13 +x23 +x33 +x43 =15

x14 +x24 +x34 +x44 =75

x15 +x25 +x35 +x45 =40

x16 +x26 +x36 +x46 =5

xij ≥0 (i=1,2,3,4 ; j=1,2,3,4,5,6 ) (3. )

ДвойственнаяЗЛП:

max(50u1 +20u2 +75u3 +80u4 +40v1 +50v2 +15v3 +75v4 +40v5 +5v6 ) (3. )

u2 +v1 ≤0,4

u2 +v2 ≤3

u2 +v3 ≤1

u2 +v4 ≤2

u2 +v5 ≤3

u2 +v6 ≤0

u3 +v1 ≤0,7

u3 +v2 ≤1

u3 +v3 ≤1

u3 +v4 ≤0,8

u3 +v5 ≤1,5

u3 +v6 ≤0

u4 +v1 ≤1,2

u4 +v2 ≤2

u4 +v3 ≤2

u4 +v4 ≤1,5

u4 +v5 ≤2,5

u4 +v6 ≤0


u1 +v1 ≤1

u1 +v2 ≤2

u1 +v3 ≤3 (3. )

u1 +v4 ≤2,5

u1 +v5 ≤3,5

u1 +v6 ≤0

ui ,vj – произвольные (i=1,2,3,4 ; j=1,2,3,4,5,6 )

Будем искать первоначальный план по методу наименьшей стоимости:

1) x21 =20и 2-ую строку исключаем;

2) x31 =20и 1-ый столбец исключаем;

3) x34 =55и 3-ю строку исключаем;

4) x44 =20и 4-ый столбец исключаем;

5) x12 =50 и 1-ю строку и 2-ой столбец исключаем и x32 =0;

6) x43 =150 и 3-ий столбец исключаем;

7) x45 =40 и 5-ый столбец исключаем и x46 =5.

Составим таблицу 3. . Здесь и далее в нижнем правом углу записываем значение перевозки.

Таблица 3. – Проведение итераций

Цеха

Склад

B1

(b1 =40)

B2

(b2 =50)

B3

(b3 =15)

B4

(b4 =75)

B5

(b5 =40)

B6

(b6 =5)

А1 1 =50)

1,0

50
2,0
3,0 2,5 3,5 0
А22 =20)

0,4

20
3,0 1,0 2,0 3,0 0
А33 =75)

0,7

20
0
1,0
1,0
55
0,8
1,5 0
5
15
А44 =80)

1,2

2,0 2,0
20
1,5
40
2,5
0

Стоимость 1-ого плана:

D1 =2•50+0,4•20+0,7•20+0,8•55+2•15+1,5•20+2,5•40=326.

Будем улучшать этот план методом потенциалов: ui - потенциал Аi ,vj - потенциал Bj . Тогда u1 +v2 =2,u2 +v1 =0,4, u3 +v1 =0,7, u3 +v2 =1, u3 +v4 =0,8, u4 +v3 =2, u4 +v4 =1,5, u4 +v5 =2,5 ,u4 +v6 =0.Положим u1 =0,тогда v2 =2,u3 =-1,v1 =1,7,v4 =1,8, u2 =-1,3,u4 =-0,3, v3 =2,3,v5 =2,8,v6 =0,3.Составим таблицу 3. :

Таблица 3. - Проведение итераций

Цеха

Склад

B1

(b1 =40)

v1 =1,7

B2

(b2 =50)

v2 =2

B3

(b3 =15)

v3 =2,3

B4

(b4 =75)

v4 =1,8

B5

(b5 =40)

v5 =2,8

B6

(b6 =5)

v6 =0,3

0 ,7
А1 1 =50)

U1 =0

0
1,0

- 0,7
50
2,0
- 0,7
3,0
- 0,7
2,5
0 ,3
3,5
0
0
А22 =20)

U2 =-1,3

- 2,3
20
0,4
0
3,0
- 1,5
1,0
- 1,5
2,0
- 1
3,0
0
0
А33 =75)

U3 =-1

0
0,7

20

0 ,3
0
1,0
0
1,0
0 ,3
55
0,8
- 0,7
1,5
0
0 ,2
А44 =80)

U4 =-0,3

- 0,3
1,2
0
2,0
0
15
2,0
0
20
1,5
0
40
2,5
5
0

В верхнем левом углу здесь и далее записываем значение ui +vj -cij . Имеем: u1 +v1 --c11 =0,7>0, u1 +v6 -c16 =0,3>0, u3 +v3 -c33 =0,3>0, u3 +v5 -c35 =0,3>0,

u4 +v1 -c41 =0,2>0. => По критерию оптимальности, первый план не оптимален. Далее max(0,7;0,3;0,3;0,3;0,2)=0,7. => Поместим перевозку в клетку А1 В1 ,сместив 20=min(20,50) по циклу, указанному в таблице штрихом. Получим новую таблицу. Найдем потенциалы: u1 +v1 =1,u1 +v2 =2,u2 +v1 =0,4,u3 +v2 =1, u3 +v4 =0,8, u4 +v3 =2, u4 +v4 =1,5, u4 +v5 =2,5 , u4 +v6 =0. Положим u1 =0,тогда v1 =1,u2 =-0,6,v2 =2,v4 =1,8, u3 =-1, u4 =-0,3,v3 =2,3,v5 =2,8,v6 =0,3. Составим таблицу 3. :

Таблица 3. - Проведение итераций

Цеха

Склад

B1

(b1 =40)

v1 =1

B2

(b2 =50)

v2 =2

B3

(b3 =15)

v3 =2,3

B4

(b4 =75)

v4 =1,8

B5

(b5 =40)

v5 =2,8

B6

(b6 =5)

v6 =0,3

0
А1 1 =50)

U1 =0

0
1,0
20

- 0,7
30
2,0
- 0,7
3,0
- 0,7
2,5
0 ,3
3,5
0
0
А22 =20)

U2 =-0,6

- 1,6
20
0,4

0 ,7
3,0

- 0,8
1,0
- 0,8
2,0
- 0,3
3,0
0
-0,7
А33 =75)

U3 =-1

0
0,7

0 ,3
20
1,0
0
1,0

0 ,3
55
0,8
- 0,7
1,5
0
-0,5
А44 =80)

U4 =-0,3

- 0,3
1,2
0
2,0

0
15
2,0

0
20
1,5
0
40
2,5
5
0

Стоимость 2-ого плана:

D2 =1•20+2•30+0,4•20+1•20+0,8•55+2•15+1,5•20+2,5•40=312.

Имеем:u1 +v6 -c16 =0,3>0, u2 +v3 -c23 =0,7>0, u3 +v3 -c33 =0,3>0, u3 +v5 -c35 =0,3>0. => По критерию оптимальности, второй план не оптимален. Далее max(0,3;0,7;0,3;0,3)=0,7 => Поместим перевозку в клетку А2 В3 ,сместив 15=min(20,30,55,15) по циклу, указанному в таблице штрихом. Получим новую таблицу. Найдем потенциалы: u1 +v1 =1,u1 +v2 =2,u2 +v1 =0,4,u3 +v2 =1, u3 +v4 =0,8, u2 +v3 =1, u4 +v4 =1,5, u4 +v5 =2,5 , u4 +v6 =0. Положим u1 =0,тогда v1 =1,u2 =-0,6,v2 =2,v4 =1,8, u3 =-1, u4 =-0,3,v3 =1,6, v5 =2,8, v6 =0,3. Составим таблицу 3.:

Таблица 3. - Проведение итераций

Цеха

Склад

B1

(b1 =40)

v1 =1

B2

(b2 =50)

v2 =2

B3

(b3 =15)

v3 =1,6

B4

(b4 =75)

v4 =1,8

B5

(b5 =40)

v5 =2,8

B6

(b6 =5)

v6 =0,3

0
А1 1 =50)

U1 =0

0
1,0
35
-1,4
15
2,0
- 0,7
3,0
- 0,7
2,5
0 ,3
3,5
0
0
А22 =20)

U2 =-0,6

- 1,6
5
0,4
0
3,0
15
- 0,8
1,0
- 0,8
2,0
- 0,3
3,0
0
-0,7
А33 =75)

U3 =-1

0
0,7
-0,4
35
1,0
0
1,0

0 ,3
40
0,8

- 0,7
1,5
0
-0,5
А44 =80)

U4 =-0,3

- 0,3
1,2
-0,7
2,0
0
2,0

0
35
1,5

0
40
2,5
5
0

Стоимость 3-его плана:

D3 =1•35+2•15+0,4•5+1•15+0,8•40+1•35+1,5•35+2,5•40=301,5.

Имеем:u1 +v6 -c16 =0,3>0,u3 +v5 -c35 =0,3>0. => По критерию оптимальности, третий план не оптимален. Далее max(0,3;0,3)=0,3. => Поместим перевозку в клетку А3 В5 ,сместив 40=min(40,40) по циклу, указанному в таблице штрихом. Получим новую таблицу. Чтобы 4-ый план был невырожденным, оставим в клетке А4 В5 нулевую перевозку. Найдем потенциалы: u1 +v1 =1,u1 +v2 =2,u2 +v1 =0,4,u3 +v2 =1, u4 +v5 =2,5, u2 +v3 =1, u4 +v4 =1,5, u3 +v5 =1,5 , u4 +v6 =0. Положим u1 =0,тогда v1 =1,u2 =-0,6,v2 =2,v4 =1,5, u3 =-1,u4 =0, v3 =1,6, v5 =2,5, v6 =0. Составим таблицу 3. :


Таблица 3. - Проведение итераций

Цеха

Склад

B1

(b1 =40)

v1 =1

B2

(b2 =50)

v2 =2

B3

(b3 =15)

v3 =1,6

B4

(b4 =75)

v4 =1,5

B5

(b5 =40)

v5 =2,5

B6

(b6 =5)

v6 =0

0
А1 1 =50)

U1 =0

0
1,0
35
- 1,4
15
2,0
- 1
3,0
- 1
2,5
0
3,5
0
0
А22 =20)

U2 =-0,6

- 1,6
5
0,4
0
3,0
15
- 1,1
1,0
- 1,1
2,0
- 0,6
3,0
0
-0,7
А33 =75)

U3 =-1

0
0,7
-0,4
35
1,0
-0,3
1,0
0
0,8
40
- 1
1,5
0
-0,2
А44 =80)

U4 =0

0
1,2
-0,4
2,0
0
2,0
0
75
1,5
0
0
2,5
5
0

Стоимость 4-ого плана:

D4 =1•35+2•15+0,4•5+1•15+1•35+1,5•40+1,5•75=289,5.

Для всех клеток последней таблицы выполнены условия оптимальности:

1) ui +vjij =0 для клеток, занятых перевозками;

2) ui +vjij ≤0 для свободных клеток.

Несодержательные ответы:

Прямой ЗЛП:

35 15 0 0 0 0

5 0 15 0 0 0

X = 0 35 0 0 40 0

0 0 0 75 0 5

min=289,5.

Двойственной ЗЛП:


U1 =0 ; U2 =-0,6 ; U3 =-1 ; U4 =0 ; V1 =1 ; V2 =2 ; V3 =1,6 ; V4 =1,5 ; V5 =2,5 ; V6 =0.

max=289,5.

Так как min=max, то по критерию оптимальности найдены оптимальные решения прямой и двойственной ЗЛП. Содержательный ответ: Оптимально перевозить так:

Из А1 вB1 – 35 сборочных агрегатов;

Из А1 вB2 – 15 сборочных агрегатов;

Из А2 вB1 – 5 сборочных агрегатов;

Из А2 вB3 – 15 сборочных агрегатов;

Из А3 вB2 – 35 сборочных агрегатов;

Из А3 вB5 – 40 сборочных агрегатов;

Из А4 вB4 – 75 сборочных агрегатов.

При этом стоимость минимальна и составит Dmin =289,5. 5 сборочных агрегатов необходимо оставить на складе А4 для их последующей перевозки в другие Цеха.


Список использованной литературы

1. Е.Г. Гольштейн, Д.Б. Юдин «Задачи линейного программирования транспортного типа», Москва, 2007.

2. И.Л. Акулич, В.Ф. Стрельчонок «Математические методы и компьютерные технологии решения оптимизационных задач», Рига, 2006.

3. Астафуров В.Г., Колодникова Н. - Компьютерное учебное пособие, раздел “Анализ на чувствительность с помощью двойственной задачи”, Томск-2004.

4. Алесинская Т.В. - Задачи по исследованию операций с решениями. Москва, 2008.

5. Смородинский С.С., Батин Н.В. - Оптимизация решений на основе методов и моделей математического программирования: Учебное пособие. Воронеж, 2009